Il concetto di modulo
Salve a tutti, espongo il problema:
sia $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un gruppo abeliano scritto in forma additiva, allora e' possibile dare nell'usuale modo ad $M$ una struttura di $R$-modulo. Fin qui tutto chiaro, ma studiando la teoria della rappresentazione di gruppi finiti ho incontrato dei "moduli" che hanno una definizione diversa, faccio due esempi.
1) Sia $V$ uno spazio vettoriale (su un campo $F$) e si faccia agire su di esso un gruppo $G$ mediante $(v,g)\rightarrow v^g$ in modo tale che si abbiano le seguenti proprieta':
- $(v^g)^h=v^{gh}$
- $v^1=v$
- $(v+w)^{g}=v^{g} + w^{g}$
- $(\lambda v)^{g} =\lambda v^g$
Sotto tali condizioni $V$ e' detto un $FG$-modulo
2) Sia $V$ uno spazio vettoriale (su un campo $F$) e si faccia agire su di esso una $F$-algebra associativa $A$, mediante $(v,a)\rightarrow v^a$ in modo tale che si abbiano le seguenti proprieta':
- $(v^a)^b=v^{ab}$
- $v^1=v$
- $(v+w)^a=v^{a}+ w^a$
- $v^{a+b}=v^{a}+v^b$
- $(\lambda v)^{a} = \lambda v^{a} = v^{\lambda a}$
Sotto tali condizioni $V$ e' detto un $A$-modulo
Ora io mi chiedo se tali differenti nozioni di modulo sono completamente scollegate oppure c'e' un certo legame fra esse. In fin dei conti un $R$-modulo si puo' vedere come un gruppo $M$ equipaggiato con un'azione dell'anello $R$. Ho l'impressione che mi stia perdendo qualche cosa e che ci sia qualche teoria piu' celata che non conosco, e mi chiedo inoltre: basta cambiare il tipo di strutture algebriche che interagiscono fra loro per ottenere in generale un " *-modulo " ?
sia $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un gruppo abeliano scritto in forma additiva, allora e' possibile dare nell'usuale modo ad $M$ una struttura di $R$-modulo. Fin qui tutto chiaro, ma studiando la teoria della rappresentazione di gruppi finiti ho incontrato dei "moduli" che hanno una definizione diversa, faccio due esempi.
1) Sia $V$ uno spazio vettoriale (su un campo $F$) e si faccia agire su di esso un gruppo $G$ mediante $(v,g)\rightarrow v^g$ in modo tale che si abbiano le seguenti proprieta':
- $(v^g)^h=v^{gh}$
- $v^1=v$
- $(v+w)^{g}=v^{g} + w^{g}$
- $(\lambda v)^{g} =\lambda v^g$
Sotto tali condizioni $V$ e' detto un $FG$-modulo
2) Sia $V$ uno spazio vettoriale (su un campo $F$) e si faccia agire su di esso una $F$-algebra associativa $A$, mediante $(v,a)\rightarrow v^a$ in modo tale che si abbiano le seguenti proprieta':
- $(v^a)^b=v^{ab}$
- $v^1=v$
- $(v+w)^a=v^{a}+ w^a$
- $v^{a+b}=v^{a}+v^b$
- $(\lambda v)^{a} = \lambda v^{a} = v^{\lambda a}$
Sotto tali condizioni $V$ e' detto un $A$-modulo
Ora io mi chiedo se tali differenti nozioni di modulo sono completamente scollegate oppure c'e' un certo legame fra esse. In fin dei conti un $R$-modulo si puo' vedere come un gruppo $M$ equipaggiato con un'azione dell'anello $R$. Ho l'impressione che mi stia perdendo qualche cosa e che ci sia qualche teoria piu' celata che non conosco, e mi chiedo inoltre: basta cambiare il tipo di strutture algebriche che interagiscono fra loro per ottenere in generale un " *-modulo " ?
Risposte
No, è molto più semplice. 
Per abbreviare, se [tex]G[/tex] è un gruppo qualsiasi un [tex]G[/tex]-modulo è in generale un modulo sull'anello [tex]\mathbb Z[G][/tex] (in inglese si chiama integral group ring). Nel caso delle rappresentazioni, però, lavori con spazi vettoriali su un campo, che non sono semplici gruppi abeliani ma qualcosa di più. In questo caso, avrà senso di parlare di [tex]F[G][/tex]-moduli (e sono quelli che interessano a te).
Certo che c'è! E' la teoria delle categorie! In quel contesto, un modulo è semplicemente un oggetto modulo interno su un oggetto monoide interno in una categoria monoidale! Specializzandoti, trovi tutte le definizioni di modulo classiche...
Per abbreviare, se [tex]G[/tex] è un gruppo qualsiasi un [tex]G[/tex]-modulo è in generale un modulo sull'anello [tex]\mathbb Z[G][/tex] (in inglese si chiama integral group ring). Nel caso delle rappresentazioni, però, lavori con spazi vettoriali su un campo, che non sono semplici gruppi abeliani ma qualcosa di più. In questo caso, avrà senso di parlare di [tex]F[G][/tex]-moduli (e sono quelli che interessano a te).
"Galoisfan":
Ho l'impressione che mi stia perdendo qualche coa e che ci sia qualche teoria più celata che non conosco [...]
Certo che c'è! E' la teoria delle categorie!
In quel contesto, un modulo è semplicemente un oggetto modulo interno su un oggetto monoide interno in una categoria monoidale! Specializzandoti, trovi tutte le definizioni di modulo classiche...
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