Il campo dei numeri algebrici
Ho trovato questo teorema:
Non sono in possesso di una dimostrazione quindi ho cercato di venirci a capo da solo ma mi sono bloccato fin dalla dimostrazione che è un campo. Ho fatto così:
Se [tex]Q[/tex] è l'insieme dei numeri algebrici, allora [tex]\mathbb Q\subset Q\subset\mathbb C[/tex]. Per mostrare che [tex]Q[/tex] è un campo dovrei mostrare innanzitutto che dati [tex]a,b\in Q[/tex] allora [tex]a+b\in Q[/tex] e [tex]ab\in Q[/tex]. Ma non so come fare. Così ho pensato di considerare [tex]\alpha\in Q[/tex]. Essendo algebrico, si ha [tex]\mathbb Q[x] / (p_\alpha) \cong \mathbb Q(\alpha)[/tex] che è un campo. Sia ora [tex]\beta\in Q[/tex] tale che il suo polinomio minimo [tex]p_\beta[/tex] sia irriducibile in [tex]Q(\alpha)[/tex]. Allora [tex]\mathbb Q(\alpha)[x] / (p_\beta) \cong \mathbb Q(\alpha, \beta)[/tex] è ancora un campo. Essendo l'insieme dei numeri algebrici numerabile, avrei pensato di iterare questo procedimento fino ad ottenere il campo [tex]\mathbb Q(\alpha,\beta,...)[/tex], ovvero un campo dove sono presenti tutti i numeri razionali più tutti gli algebrici.
Ha senso come procedimento?
I numeri algebrici costituiscono un sottocampo di [tex]\mathbb C[/tex] algebricamente chiuso.
Non sono in possesso di una dimostrazione quindi ho cercato di venirci a capo da solo ma mi sono bloccato fin dalla dimostrazione che è un campo. Ho fatto così:
Se [tex]Q[/tex] è l'insieme dei numeri algebrici, allora [tex]\mathbb Q\subset Q\subset\mathbb C[/tex]. Per mostrare che [tex]Q[/tex] è un campo dovrei mostrare innanzitutto che dati [tex]a,b\in Q[/tex] allora [tex]a+b\in Q[/tex] e [tex]ab\in Q[/tex]. Ma non so come fare. Così ho pensato di considerare [tex]\alpha\in Q[/tex]. Essendo algebrico, si ha [tex]\mathbb Q[x] / (p_\alpha) \cong \mathbb Q(\alpha)[/tex] che è un campo. Sia ora [tex]\beta\in Q[/tex] tale che il suo polinomio minimo [tex]p_\beta[/tex] sia irriducibile in [tex]Q(\alpha)[/tex]. Allora [tex]\mathbb Q(\alpha)[x] / (p_\beta) \cong \mathbb Q(\alpha, \beta)[/tex] è ancora un campo. Essendo l'insieme dei numeri algebrici numerabile, avrei pensato di iterare questo procedimento fino ad ottenere il campo [tex]\mathbb Q(\alpha,\beta,...)[/tex], ovvero un campo dove sono presenti tutti i numeri razionali più tutti gli algebrici.
Ha senso come procedimento?
Risposte
Non occorre iterare il procedimento. La definizione di campo richiede molto meno.
Prendiamo $A$ l'insieme dei numeri complessi algebrici su $\QQ$. Come hai detto tu: $\QQ \subset A \subset \CC$.
Per dimostrare che siamo in un campo basta far vedere che $\forall a, b \in A$ valgono le proprietà che definiscono un campo. Ma per questo è sufficiente considerare $\QQ [a,b]$.
Si ha $\QQ [a,b] \subset A$ perché $\QQ [a,b]$ è un'estensione finita e quindi algebrica.
D'altra parte è noto che $\QQ [a,b]$ è un campo.
Dunque è immediato che $a+b$, $ab$ etc. sono elementi di $\QQ [a,b]$ e quindi anche di $A$.
Non mi sono fermato a giustificare in dettaglio i passaggi dal momento che vedo, da questo e dall'altro post, che sei abbastanza 'dentro' la materia e quindi magari per alcune cose è pesante ripetere ogni volta la dimostrazione. Se c'è qualcosa di poco chiaro o che non torna cercherò di essere più chiaro.
Prendiamo $A$ l'insieme dei numeri complessi algebrici su $\QQ$. Come hai detto tu: $\QQ \subset A \subset \CC$.
Per dimostrare che siamo in un campo basta far vedere che $\forall a, b \in A$ valgono le proprietà che definiscono un campo. Ma per questo è sufficiente considerare $\QQ [a,b]$.
Si ha $\QQ [a,b] \subset A$ perché $\QQ [a,b]$ è un'estensione finita e quindi algebrica.
D'altra parte è noto che $\QQ [a,b]$ è un campo.
Dunque è immediato che $a+b$, $ab$ etc. sono elementi di $\QQ [a,b]$ e quindi anche di $A$.
Non mi sono fermato a giustificare in dettaglio i passaggi dal momento che vedo, da questo e dall'altro post, che sei abbastanza 'dentro' la materia e quindi magari per alcune cose è pesante ripetere ogni volta la dimostrazione. Se c'è qualcosa di poco chiaro o che non torna cercherò di essere più chiaro.
Ho capito, non avevo proprio pensato a questo tipo di passaggio 
Grazie mille.
Grazie mille.
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