Identità riguardante la successione di Fibonacci
Ciao a tutti, sto studiando le identità legate ai numeri di Fibonacci, in particolare devo dimostrare la seguente proprietà algebricamente:
$$F_{m+(t+1)p}=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}F_{t+1}^iF_{t}^{p-i}F_{m+i}$$
Qualcuno mi sa dare due dritte su come partire? Ho provato riscrivendo i numeri di Fibonacci con la formula di Binet ma non ne sono venuta a capo. Per completezza la formula di Binet è la seguente:
$$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$$
dove $F_n$ è l'$n-$-esimo numero di Fibonacci e $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Se qualcuno avesse un suggerimento, sarebbe ben accetto. Grazie a tutti in anticipo
$$F_{m+(t+1)p}=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}F_{t+1}^iF_{t}^{p-i}F_{m+i}$$
Qualcuno mi sa dare due dritte su come partire? Ho provato riscrivendo i numeri di Fibonacci con la formula di Binet ma non ne sono venuta a capo. Per completezza la formula di Binet è la seguente:
$$F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$$
dove $F_n$ è l'$n-$-esimo numero di Fibonacci e $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Se qualcuno avesse un suggerimento, sarebbe ben accetto. Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ho notato ora che la prima parte coincide con lo sviluppo della potenza $(F_{t+1}+F_t)^p$, ma non so come trattare il termine $F_{m+i}$
Prova per induzione. Agisci su una variabile e tieni fissi gli altri.
Credi che ci sia una variabile più conveniente? con la $t$ per esempio mi pare di non risolvere molto, perchè otterrei la tesi per il numero di Fibonacci di posto $m+tp$ che però non è il precedente di $m+(t+1)p$, quindi non saprei poi dove applicare l'ipotesi induttiva. Ha senso la mia osservazione?
Agisci su $p$, sembra decisamente più comodo.
Grazie, provo e ti aggiorno 
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