Identità e inverso

[francox1]

Per definizione ogni elemento inverso porta ad 'estrarre' sempre l'elemento neutro o identity element dalla presenza dell'inverso. Il contrario, invece, non è vero, cioè, dato un elemento neutro non è vero che allora esiste un elemento inverso.

A me sta cosa puzza di bruciato, nel senso che, non è chiaro il motivo di questa asimmetria nelle definizioni.

Cercavo di capire se fosse possibile costruire un elemento inverso senza l'elemento identità.
Quindi mi sorge questa domanda

Proponendo un assioma del tipo \(\displaystyle \forall a: \exists a^{-1}: \forall b,c: (ab= c) \iff (a^{-1}c= b) \) se riveliamo che l'operazione ha un'identità, possiamo dimostrare poi \(\displaystyle a^{-1}a^=1 \)?

Vorrei un esempio di elemento inverso senza la presenza dell'elemento identità

[hydro1]

Non si capisce bene quale sia la domanda. Se la domanda è: "dato un insieme $G$ con un'operazione interna che soddisfa 1) esiste $1_G$ tale che $a\cdot 1_G=a$ e $1_G\cdot a=a$ per ogni $a$ e 2) per ogni $a,b,c$ con $ab=c$ esiste $a^{-1}$ tale che $ab=c$ sse $b=a^{-1}c$, allora è vero che $a^{-1}a=1_G$?", allora la risposta è ovviamente sì dato che in 2) puoi prendere $b=1_G$ sicchè necessariamente $c=a$.

[gugo82]

La questione, a quanto mi pare di capire, è: si può definire in qualche modo l’inverso di un elemento anche quando l’operazione non ha elemento neutro?

[solaàl]

"gugo82":La questione, a quanto mi pare di capire, è: si può definire in qualche modo l’inverso di un elemento anche quando l’operazione non ha elemento neutro?

Certo, si può. Esiste la nozione di semigruppo inverso: è un semigruppo $S$ dove ogni elemento \(s\in S\) ha un unico "finto inverso" \(\bar s\) tale che \(\bar ss\bar s=\bar s, s\bar s s= s\).

Un po' più generale è la nozione di anello \(R\) regolare secondo Von Neumann, dove \(\bar s\) non è unico: un semigruppo è inverso quando è regolare e \(s\mapsto \bar s\) è una funzione.

Il fatto che tutti gli anelli di matrici quadrate a coefficienti in un campo sono von Neumann regolari segue dal teorema di Gauss sulla riduzione delle matrici a scalino.

Un teorema scoperto e riscoperto da varie persone (uno dei quali, Roger Penrose) è che un semigruppo regolare è inverso se e solo se tutti gli idempotenti commutano tra loro, ossia dato \(s\in S\), il suo \(\bar s\) è unico se e solo se per ogni coppia di idempotenti \(e,f\in S\) si ha \(ef=fe\) (intendendo con la giustapposizione l'operazione che rende $S$ un semigruppo).

Un semigruppo inverso si comporta come un gruppo senza elemento neutro in vari sensi: per esempio \(\bar{\bar s}=s\), e \(\overline{xy}=\bar y \bar x\), e l'insieme degli idempotenti è stabile per "coniugio" \(x\mapsto sx\bar s\).

I "gruppi" sono esattamente i semigruppi inversi che sono monoidi, e dove se \(e\) è un elemento idempotente, alora $e=1$.

Il "lemma di Yoneda" in questo contesto è dovuto a Wagner e Preston: ogni semigruppo inverso si immerge in un semigruppo inverso che è un monoide: basta considerare l'immersione di $S$ nell'insieme \(\text{Ip}(S)\) delle "biiezioni parziali" di \(S\) (una funzione parziale \(f : S \rightharpoonup S\) è un isomorfismo quando esiste un inverso parziale \(f^\star\) tale che \(ff^\star\) coincida con l'inclusione del dominio di \(f\), e \(f^\star f\) sia l'inclusione del dominio di \(f^\star\) in $S$).