Identità di Dedekind
Ho dimostrato l'identità di Dedekind, che è la seguente
"Siano $H,K,L$ sottogruppi di un gruppo $G$ tali che $HK=KH$ e $H<=L$. Allora $HKnnL=H(KnnL)$"
Poi viene aggiunto: "Inoltre $H$ e $KnnL$ sono permutabili"
Mi sono bloccato su questo... potreste aiutarmi?
"Siano $H,K,L$ sottogruppi di un gruppo $G$ tali che $HK=KH$ e $H<=L$. Allora $HKnnL=H(KnnL)$"
Poi viene aggiunto: "Inoltre $H$ e $KnnL$ sono permutabili"
Mi sono bloccato su questo... potreste aiutarmi?
Risposte
Vuol dire che $H(K nn L)=(K nn L)H$
Sì, potrei provarlo con la doppia inclusione ma il libro la porta come conseguenza dell'identità di Dedekind. Come mai?
Scusa, di solito nei libri le affermazioni sono dimostrate, prova a guardare lì. 
In ogni caso il fatto che $H$ e $K nn L$ sono permutabili non è una conseguenza dell'identità di Dedekind, semplicemente si dimostra usando $HK=KH$ e $H le L$ (è veramente facile, si dimostra in una riga).
Forse (ipotesi mia) il fatto che $H$ e $K nn L$ sono permutabili è così immediato (secondo il libro) che hanno pensato di scriverlo senza dimostrazione.
Se la mia ti sembra una risposta troppo semplice forse sarebbe una buona idea riportarci tutto quello che c'è scritto in merito sul libro (se no non possiamo capire).
In ogni caso il fatto che $H$ e $K nn L$ sono permutabili non è una conseguenza dell'identità di Dedekind, semplicemente si dimostra usando $HK=KH$ e $H le L$ (è veramente facile, si dimostra in una riga).
Forse (ipotesi mia) il fatto che $H$ e $K nn L$ sono permutabili è così immediato (secondo il libro) che hanno pensato di scriverlo senza dimostrazione.
Se la mia ti sembra una risposta troppo semplice forse sarebbe una buona idea riportarci tutto quello che c'è scritto in merito sul libro (se no non possiamo capire).
Una volta dimostrata l'identità di Dedekind, dice "in particolare $H(KnnL)$ è un sottogruppo di $G$ e $H$ e $KnnL$ sono permutabili" (cosa che non ho riportato per errore ma che comunque riesco a collegare)
Provo a darmi una risposta a naso.
Devo dunque provare che $H(KnnL)=(KnnL)H$. Prendo un elemento del secondo e verifico che lo posso scrivere come elemento del primo. Quindi se $y in (KnnL)H$ allora $y=ab$ con $a in KnnL$ e $b in H$. In particolare, posso essere sicuro che $b in KnnL$ dato che $H<=KnnL$. Ora dovrei provare che $a in H$ e forse qui potrebbe aiutarmi l'identità di Dedekind, ma non saprei continuare, soprattutto a quest'ora ahah
Provo a darmi una risposta a naso.
Devo dunque provare che $H(KnnL)=(KnnL)H$. Prendo un elemento del secondo e verifico che lo posso scrivere come elemento del primo. Quindi se $y in (KnnL)H$ allora $y=ab$ con $a in KnnL$ e $b in H$. In particolare, posso essere sicuro che $b in KnnL$ dato che $H<=KnnL$. Ora dovrei provare che $a in H$ e forse qui potrebbe aiutarmi l'identità di Dedekind, ma non saprei continuare, soprattutto a quest'ora ahah
Ah ho capito. Penso si riferisca al fatto (che forse ha dimostrato nella pagina prima) che se H e K sono sottogruppi di G allora sono permutabili se e solo se HK è un sottogruppo di G.
Ha dimostrato proprio prima (che sciocco)
"$H$ è $K$ sono permutabili se e solo se $[H,K]=HK$" (non so fare le parentesi "appuntite", intendo comunque "sottogruppo generato")
Forse con questo l'ha provato!
"$H$ è $K$ sono permutabili se e solo se $[H,K]=HK$" (non so fare le parentesi "appuntite", intendo comunque "sottogruppo generato")
Forse con questo l'ha provato!
Sì
$HK nn L = H (K nn L)$
implica che
$H(K nn L)$ è un sottogruppo di $G$ (perché intersezione di sottogruppi)
implica che
$H$ e $K nn L$ sono permutabili.
$HK nn L = H (K nn L)$
implica che
$H(K nn L)$ è un sottogruppo di $G$ (perché intersezione di sottogruppi)
implica che
$H$ e $K nn L$ sono permutabili.
Perfetto, mi resta solo un dubbio: perché se $HK$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ allora $H$ e $K$ sono permutabili?
Mi sembra leggermente diverso da quanto ha provato il mio libro (cioè usando il fatto che $H,K$ permutabili $<=>$ $[H,K]=HK$) o mi sbaglio?
Proverei ad argomentare così: sia $HK$ un sottogruppo di $G$. Allora prese due elementi $h_1k_1$ e $h_2k_2$ si ha $h_1k_1h_2k_2 in HK$ e ciò è verso se e solo se $k_1h_2=hk$ per qualche $h in H$ e $k in K$. Potrebbe andare (so che è informalissima, ma almeno come idea...)
Mi sembra leggermente diverso da quanto ha provato il mio libro (cioè usando il fatto che $H,K$ permutabili $<=>$ $[H,K]=HK$) o mi sbaglio?
Proverei ad argomentare così: sia $HK$ un sottogruppo di $G$. Allora prese due elementi $h_1k_1$ e $h_2k_2$ si ha $h_1k_1h_2k_2 in HK$ e ciò è verso se e solo se $k_1h_2=hk$ per qualche $h in H$ e $k in K$. Potrebbe andare (so che è informalissima, ma almeno come idea...)
$[H,K]$ è un sottogruppo per definizione.
Perfetto, ti ringrazio dal profondo del cuore per la tua disponibilità e per la tua pazienza
L’identità di dedekind afferma che se
G è un gruppo e H,K,L sono sottogruppi di G tali che H<=L allora HK intersecato L=H(K intersecato L)
Se supponiamo che HK=KH, allora risulta HK= (questo va dimostrato indipendentemente)
Allora in particolare HK è un sottogruppo e HK intersecato L è un sottogruppo perché intersezione di sottogruppi
Allora H(K intersecato L) è un sottogruppo poiché uguale ad un sottogruppo per l’identità di dedekind.
Se H(K intersecato L) è un sottogruppo, allora esso coincide con essendo questo il minimo sottogruppo rispetto alla relazione di inclusione contenente H e K intersecato L. Si dimostra che tale uguaglianza implica che H e K intersecato L sono permutabili
G è un gruppo e H,K,L sono sottogruppi di G tali che H<=L allora HK intersecato L=H(K intersecato L)
Se supponiamo che HK=KH, allora risulta HK=
Allora in particolare HK è un sottogruppo e HK intersecato L è un sottogruppo perché intersezione di sottogruppi
Allora H(K intersecato L) è un sottogruppo poiché uguale ad un sottogruppo per l’identità di dedekind.
Se H(K intersecato L) è un sottogruppo, allora esso coincide con
[xdom="Martino"]Mi vedo costretto a bloccare per Necroposting. Attenzione in futuro.[/xdom]
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