Ideali primi ma non massimali: help
Salve a tutti, ho un esercizio dimostrativo il cui terzo punto non mi riesce proprio... Credo di aver sbagliato qualcosa nei punti precedenti... mi aiutate a vedere se è giusto per favore? L'ho postato fino al punto di cui non riesco a venire a capo... Grazie mille a tutti quelli che avranno la pazienza di leggerlo.
Sia $\phi : \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}$ tale che $\forall f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ associa la valutazione $\f(0) \in \mathbb{Z}$. Dimostrare che:
1) $\phi$ è un omomorfismo di anelli;
2) $Ker(\phi)$ è un ideale;
(e questo è il punto incriminato... )
3) $Ker(\phi)$ è primo ma non massimale.
Soluzione:
1) Ho fatto queste verifiche:
+) $\phi((f+g)(x))=(f+g)(0):=f(0)+g(0)=\phi(f(x))+\phi(g(x)); \forall f(x), g(x) \in mathbb{Z}[x]$ (omomorfismo di gruppi);
$ \dot$ ) $\phi((f\dotg)(x))=(f\dotg)(0):=f(0)\dotg(0)=\phi(f(x))\dot\phi(g(x)); \forall f(x), g(x) \in mathbb{Z}[x]$ (omomorfismo di anelli);
DUBBI: Dovrei far vedere queste cose? buona definizione; $\phi: O(x) \rightarrow 0$; $\phi: id(x) \rightarrow 1$ (a me pare che questa vada messa solo in caso si deve dimostrare che è un omomorfismo di anelli con unità giusto?)
2) Ho verificato che:
*) $(Ker(\phi),+)<(\mathbb{Z}[x],+)$;
**) $\forall f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e $\forall k(x) \in Ker(\phi)$ si ha che $\phi((k\dotf)(x))=\phi(k(x)\dotf(x))=\phi(k(x))\dot\phi(f(x))=0\dot\f(0)=0$ allora $\f(x)\dotk(x) \in Ker(\phi)$;
Posso concludere che $(Ker(\phi))$ è dunque un ideale di $\mathbb{Z}[x]$ generatore di tutti i polinomi che si annullano se valutati tramite $\phi$ in $0\in\mathbb{Z}$, poichè $Ker(\phi):={k(x)\in\mathbb{Z}[x]| \phi(k(x))=k(0)=0}={k(x)\in\mathbb{Z}[x]| k(x)= x\dotq(x) \forall q(x) \in \mathbb{Z}[x]}=(x)$ ; (l'uguale vale perchè $\Ker(\phi)$ contiene $(x)$; e vale l'altro contenimento perchè lo 0 lo ottengo come: $0=x\dotO(x)$ ed $\O(x) \in mathbb{Z}[x]$.
3) $x$ è irriducibile in un anello euclideo ($\mathbb{Z}[x]$), allora $x$ è primo, allora $(x)$ è un ideale primo MA ALLORA è MASSIMALE ?????? BOH??? non mi torna....
Sia $\phi : \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{Z}$ tale che $\forall f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ associa la valutazione $\f(0) \in \mathbb{Z}$. Dimostrare che:
1) $\phi$ è un omomorfismo di anelli;
2) $Ker(\phi)$ è un ideale;
(e questo è il punto incriminato... )
3) $Ker(\phi)$ è primo ma non massimale.
Soluzione:
1) Ho fatto queste verifiche:
+) $\phi((f+g)(x))=(f+g)(0):=f(0)+g(0)=\phi(f(x))+\phi(g(x)); \forall f(x), g(x) \in mathbb{Z}[x]$ (omomorfismo di gruppi);
$ \dot$ ) $\phi((f\dotg)(x))=(f\dotg)(0):=f(0)\dotg(0)=\phi(f(x))\dot\phi(g(x)); \forall f(x), g(x) \in mathbb{Z}[x]$ (omomorfismo di anelli);
DUBBI: Dovrei far vedere queste cose? buona definizione; $\phi: O(x) \rightarrow 0$; $\phi: id(x) \rightarrow 1$ (a me pare che questa vada messa solo in caso si deve dimostrare che è un omomorfismo di anelli con unità giusto?)
2) Ho verificato che:
*) $(Ker(\phi),+)<(\mathbb{Z}[x],+)$;
**) $\forall f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e $\forall k(x) \in Ker(\phi)$ si ha che $\phi((k\dotf)(x))=\phi(k(x)\dotf(x))=\phi(k(x))\dot\phi(f(x))=0\dot\f(0)=0$ allora $\f(x)\dotk(x) \in Ker(\phi)$;
Posso concludere che $(Ker(\phi))$ è dunque un ideale di $\mathbb{Z}[x]$ generatore di tutti i polinomi che si annullano se valutati tramite $\phi$ in $0\in\mathbb{Z}$, poichè $Ker(\phi):={k(x)\in\mathbb{Z}[x]| \phi(k(x))=k(0)=0}={k(x)\in\mathbb{Z}[x]| k(x)= x\dotq(x) \forall q(x) \in \mathbb{Z}[x]}=(x)$ ; (l'uguale vale perchè $\Ker(\phi)$ contiene $(x)$; e vale l'altro contenimento perchè lo 0 lo ottengo come: $0=x\dotO(x)$ ed $\O(x) \in mathbb{Z}[x]$.
3) $x$ è irriducibile in un anello euclideo ($\mathbb{Z}[x]$), allora $x$ è primo, allora $(x)$ è un ideale primo MA ALLORA è MASSIMALE ?????? BOH??? non mi torna....
Risposte
"Isaac888":
3) $x$ è irriducibile in un anello euclideo ($\mathbb{Z}[x]$), allora $x$ è primo, allora $(x)$ è un ideale primo MA ALLORA è MASSIMALE ?????? BOH??? non mi torna....
ma $\mathbb{Z}[x]$ è ad ideali principali?
Secondo quanto ho studiato nella teoria tutti gli ideali di un anello euclideo sono principali...
perchè $ZZ[x]$ è euclideo?
"rubik":Ma sì, per esempio il quoziente della divisione con resto di $x^2$ e $2x$ è un mezz.. ehm...
perchè $ZZ[x]$ è euclideo?
Secondo me anche qui conviene usare senza moderazione il primo teorema di isomorfismo per gli anelli.
Chiedo umilmente scusa (soprattutto a martino) per aver sbagliato una cosa così banale... Penso che mi farò un atto di dolore!
ps: Non pretendevo da nessuno che mi si facesse l'esercizio... ma dirmi subito ed in dettaglio che (e sopratutto cosa) avevo sbagliato penso che non sarebbe costato niente! Comunque grazie mille... almeno c'è chi mi ha fatto capire che ho sbagliato facendomi sentire un ignorantone... (si scherza...) grazie ;)!
Dubbio risolto :)...
ps: Non pretendevo da nessuno che mi si facesse l'esercizio... ma dirmi subito ed in dettaglio che (e sopratutto cosa) avevo sbagliato penso che non sarebbe costato niente! Comunque grazie mille... almeno c'è chi mi ha fatto capire che ho sbagliato facendomi sentire un ignorantone... (si scherza...) grazie ;)!
Dubbio risolto :)...
Dai scusami non volevo farti sentire un ignorante. Premesso il fatto che in generale a me piace sentirmi ignorante, secondo me non c'è niente di male a non sapere una cosa. Volevo solo sdrammatizzare.
accetto le tue scuse Martino ... scusa anche la mia impulsività... ho un compito a breve, sicchè se sbaglio queste cose sono fritto... grazie della risp...
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