Ideali primi di $ZZ [X]$

[NightKnight1]

Sia $M$ un ideale massimale di $ZZ[X]$, allora $M \cap ZZ = (p)$ per qualche $p$ primo.

Ovviamente $M \cap ZZ$ deve essere un ideale primo di $ZZ$, ma perché si può escludere che sia soltanto lo zero??

Questo è uno dei primi passi per dare la caratterizzazione degli ideali primi e massimali di $ZZ[X]$. Qualcuno sa indicarmi delle dispense o libri in cui venga dimostrata questa caratterizzazione?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sia $M$ ideale primo di $ZZ[X]$ (non necessariamente massimale). Si devono distinguere i due casi:

$M nn ZZ = (0)$

$M nn ZZ = (p)$

Nel primo caso si deve guardare l'ideale generato da $M$ in $QQ[X]$, nel secondo caso si deve guardare l'immagine di $M$ tramite $ZZ[X] to ZZ[X]//pZZ[X]$.

[alvinlee881]

Se $M$ è massimale di $ZZ[X]$, e $M\cap ZZ={0}$, allora $M$ non contiene polinomi costanti, quindi per esempio non contiene $2$.
Allora l'ideale $M+(2)$ contiene propriamente $M$, ed è diverso da $ZZ[X]$ perchè $3\notinM+(2)$, in quanto il termine noto di ogni polinomio in $M+(2)$ è pari. Quindi $M$ non sarebbe massimale.

Cosa non va?
//MODIFICA
Ecco cosa non va: è del tutto falso che i polinomi in $M+(2)$ abbiano termine noto pari, grave errore da parte mia. Mi autopunisco subito.

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"alvinlee88":Se $M$ è massimale di $ZZ[X]$, e $M\cap ZZ={0}$, allora $M$ non contiene polinomi costanti, quindi per esempio non contiene $2$.
Allora l'ideale $M+(2)$ contiene propriamente $M$, ed è diverso da $ZZ[X]$ perchè $3\notinM+(2)$, in quanto il termine noto di ogni polinomio in $M+(2)$ è pari. Quindi $M$ non sarebbe massimale.

Cosa non va?

Hai ragione, io mi riferivo alla classificazione degli ideali primi di $ZZ[X]$. Ora lo specifico.