Ideali monomiali

[robbis1]

Ciao a tutti,
vorrei chiedere una conferma sulla validità di una proprietà, che ho trovato citata in rete ma senza dimostrazione, ovvero

'Un ideale è monomiale se e solo se la sua base di Groebner ridotta è composta da monomi'.

L'implicazione $\Leftarrow$ mi sembra corretta:
una base di Groebner è anche insieme di generatori, pertanto l'ideale è monomiale poichè generato da monomi.

Viceversa, è corretto affermare che se $I=$, allora ${x^(\alpha_1),...x^(\alpha_s)}$ è base di Groebner ridotta dell'ideale $I$? (con $x^(\alpha_i)$ intendo un monomio multivariato).

Se considero $f \in I$, posso scrivere $f=\sum h_i(x)x^(\alpha_i)$, con $h_i(x)$ appartenente all'anello polinomiale: dovrebbe quindi essere corretto dire che il termine direttore di $f$ è multiplo di uno dei monomi della base.
Mi pare quindi di poter affermare che $in(I)=$, e in tal caso la base di Groebner sarebbe costituita dai generatori di $I$, ovvero da monomi.

Vi sembra corretto?
Grazie!

[Pappappero1]

Beh, la base di groebner è fatta apposta per poter prendere i leading terms di ciascun polinomio e generare l'ideale monomiale associato $LT(I)$. Se $I$ è già monomiale, allora $LT(I) = I$ e quindi ogni polinomio della base di groebner può essere scelto (vista la minimalità) in modo da coincidere con il suo leading term, ovvero essere esso stesso un monomio.