Ideali massimali in $ZZ_24$

[squalllionheart]

rega voglio un conferma mi dite quali sono gli ideali massimali in $ZZ_24$
io credo che siano $(2)$ e $(3)$

[celeste4]

Direi di sì..

[squalllionheart]

ma sono gli unici massimali giusto?

[celeste4]

Tutti gli altri ideali di $ZZ_24$ dovrebbero essere inclusi in questi due, quindi non sono massimali...ma attendiamo ulteriori conferme, non vorrei aver detto una cazzata

[alberto861]

ma non ci sono anche gli altri primi?? nel senso $(n)$ è massimle se $(Z24)/(n)$ è un campo allora dai teoremi di isomorfismo segue che $(Z24)/(n)=(Z/24)/((nZ)/24)=Z/(nZ)$ e quindi ci vanno 5,7,11,13,17,23

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"alberto86":ma non ci sono anche gli altri primi?? nel senso $(n)$ è massimle se $(Z24)/(n)$ è un campo allora dai teoremi di isomorfismo segue che $(Z24)/(n)=(Z/24)/((nZ)/24)=Z/(nZ)$ e quindi ci vanno 5,7,11,13,17,23

No: gli elementi di $ZZ_{24}$ coprimi con 24 generano $ZZ_{24}$, e quindi l'ideale da essi generato non è massimale (un ideale massimale è per definizione proprio).

Io credo che abbia ragione celeste, e credo si possa generalizzare così: in $ZZ_n$ gli ideali massimali sono quelli generati dai primi che dividono n.

[Megan00b]

Ma sempre per il th di omomorfismo la proiezione $pi$ di $ZZ$ su $Z_(24)$ è un omomorfismo di anelli che induce una corrispondenza biunivoca tra ideali di $ZZ$ che contengono $ker pi=24ZZ$ e ideali di ZZ_(24). Quindi gli ideali di $ZZ_24$ sono della forma $(kZZ)/(24ZZ)$ con $k|24$. Quindi come possono essere quelli che hai detto tu degli ideali? (propri si intende).

Ancora più brevemente MCD(5,24)=1 quindi 5 è invertibile. Ma se un ideale contiene un elemento invertibile è tutto l'anello (an. comm. con 1).

Quindi gli ideali massimali sono $(2)$ e $(3)$, mentre $(5)=(7)=(11)=(13)=(17)=(23)=ZZ_(24)$