Ideali massimali in Z[X]
Buongiorno,
vi scrivo perché non riesco a capire se l'ideale (7,X^2-3) ossia l'ideale generato da 7 e X^2-3 in Z[X] è primo o massimale.Ho provato varie strade:
1) quozientare per l'ideale e vedere se si otteneva un campo;
2)Quozientare e applicare i teoremi di isormofismo per provare a ricondurmi a qualche forma nota.
Sfortunamente non sono stato in grado di concludere qualcosa con nessuno dei 2 metodi.Avreste qualche suggerimento per un possibile approccio ?
vi scrivo perché non riesco a capire se l'ideale (7,X^2-3) ossia l'ideale generato da 7 e X^2-3 in Z[X] è primo o massimale.Ho provato varie strade:
1) quozientare per l'ideale e vedere se si otteneva un campo;
2)Quozientare e applicare i teoremi di isormofismo per provare a ricondurmi a qualche forma nota.
Sfortunamente non sono stato in grado di concludere qualcosa con nessuno dei 2 metodi.Avreste qualche suggerimento per un possibile approccio ?
Risposte
Questo è un esercizio che io definisco "classico"; premetto che quanto segue è generalizzabile al fine di determinare tutti gli ideali primi di \(\displaystyle\mathbb{Z}[x]\).
Considerata la catena di ideali
\[
(0)\subsetneqq(7)\subsetneqq(7,x^2-3),
\]
dalla teoria sappiamo che \(\displaystyle\left(\overline{x}^2-3\right)\) è un ideale di \(\displaystyle\mathbb{Z}_7[x]=\mathbb{Z}[x]_{\displaystyle/(7)}\), immagine di \(\displaystyle(7,x^2-3)\) mediante la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\).
Se tu dimostrassi che \(\displaystyle\left(\overline{x}^2-3\right)\) è un ideale primo, allora la sua immagine inversa mediante l'omomorfismo di anelli (commutativi e unitari) \(\displaystyle\pi\), ovvero \(\displaystyle(7,x^2-3)\), sarebbe un ideale primo.
Esercizio: dimostrare che \(\displaystyle(7,x^2-3)\) è un ideale massimale di \(\displaystyle\mathbb{Z}[x]\).
Considerata la catena di ideali
\[
(0)\subsetneqq(7)\subsetneqq(7,x^2-3),
\]
dalla teoria sappiamo che \(\displaystyle\left(\overline{x}^2-3\right)\) è un ideale di \(\displaystyle\mathbb{Z}_7[x]=\mathbb{Z}[x]_{\displaystyle/(7)}\), immagine di \(\displaystyle(7,x^2-3)\) mediante la proiezione canonica \(\displaystyle\pi\).
Se tu dimostrassi che \(\displaystyle\left(\overline{x}^2-3\right)\) è un ideale primo, allora la sua immagine inversa mediante l'omomorfismo di anelli (commutativi e unitari) \(\displaystyle\pi\), ovvero \(\displaystyle(7,x^2-3)\), sarebbe un ideale primo.
Esercizio: dimostrare che \(\displaystyle(7,x^2-3)\) è un ideale massimale di \(\displaystyle\mathbb{Z}[x]\).
\(\subsetneq\) è meglio di \(\subsetneqq\), non trovi?
[ot]Semplicemente no! [/ot]
[/ot]
Allora grazie per la risposta, propongo la soluzione a cui sono giunto.Spero sia corretta:
\(\mathbb{Z}\text{[X]/(7,X^2-3)}\cong \mathbb{Z_7}\text{[}\sqrt{3}\text{]} \) che è un dominio finito,quindi è un campo.L'ideale proposto risulta allora massimale.
\(\mathbb{Z}\text{[X]/(7,X^2-3)}\cong \mathbb{Z_7}\text{[}\sqrt{3}\text{]} \) che è un dominio finito,quindi è un campo.L'ideale proposto risulta allora massimale.
Si è giusto, in alternativa potevi far vedere che $x^2-3$ non ha radici in $Z_{7}$ per cui è irriducibile in $Z_{7}[X]$ e allora,essendo questo un ED, genera un ideale massimale qui dentro.
L'esercizio presupponeva la non conoscenza degli elementi irriducibile e degli ED(che penso siano i domini euclidei?).Vengono spiegati nel capitolo successivo 
.Grazie comunque per la disponibilità.
.Grazie comunque per la disponibilità.
Solo una precisazione: se prendevi invece [tex]\mathbb{Z}[X]/(7,X^2-2)[/tex] questo non è un dominio.
Supponiamo esista un polinomio $g(x)$ tale che
$(7, x^2-3) \sub (7,x^2-3,g(x)) \sub \mathbb{Z}[x]$
allora $g(x)=k+(x^2-3)h(x)$ per qualche $h(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e $k$ intero non divisibile per 7, dunque $(7,x^2-3,g(x))=(7,x^2-3,k)$ ma $(7,k)=1$ quindi esistono due interi $m$ e $n$ tali che $7m+kn=1$ ovvero $(7,x^2-3,k)=(1)=\mathbb{Z}[x]$.
In generale ogni ideale $(p, g(x))$ con $p$ primo e $g$ irriducibile è massimale
$(7, x^2-3) \sub (7,x^2-3,g(x)) \sub \mathbb{Z}[x]$
allora $g(x)=k+(x^2-3)h(x)$ per qualche $h(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e $k$ intero non divisibile per 7, dunque $(7,x^2-3,g(x))=(7,x^2-3,k)$ ma $(7,k)=1$ quindi esistono due interi $m$ e $n$ tali che $7m+kn=1$ ovvero $(7,x^2-3,k)=(1)=\mathbb{Z}[x]$.
In generale ogni ideale $(p, g(x))$ con $p$ primo e $g$ irriducibile è massimale
"dan95":
Supponiamo esista un polinomio $g(x)$ tale che
$(7, x^2-3) \sub (7,x^2-3,g(x)) \sub \mathbb{Z}[x]$
allora $g(x)=k+(x^2-3)h(x)$ per qualche $h(x) \in \mathbb{Z}[x]$ e $k$ intero non divisibile per 7, dunque $(7,x^2-3,g(x))=(7,x^2-3,k)$ ma $(7,k)=1$ quindi esistono due interi $m$ e $n$ tali che $7m+kn=1$ ovvero $(7,x^2-3,k)=(1)=\mathbb{Z}[x]$.
In generale ogni ideale $(p, g(x))$ con $p$ primo e $g$ irriducibile è massimale
In generale ho sempre alcune difficoltà nel capire come "allargare" l'ideale e verificare la massimalità.
Vorrei capire se l'aumento dei generatori,scelti opportunamente, è in grado di considerare tutti i possibili ideali che contengono l'ideale in esame.
Bè a forza di mettere generatori prima o poi ottieni un massimale.
In generale sì, ma in questo caso non di può andare oltre due generatori...
P.S.: \(\displaystyle(7,x^2+3)\) non è un ideale primo.
P.S.: \(\displaystyle(7,x^2+3)\) non è un ideale primo.
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