Ideali massimali e primi in R[x] e Z[x]
Dopo una giornata di algebra i neuroni si rifiutano di procedere oltre.
Sia $f(x)=x^4+x^3-x-1$, sia $g(x)=x^{10}-x^7$, sia $I=(f,g)$ l'ideale generato dai due polinomi. Determinare:
a) gli ideali massimali di $\mathbb R[x]$ che contengono $I$;
b) un ideale massimale di $\mathbb Z[x]$ che contenga $I$;
c) un ideale primo non massimale di $\mathbb Z[x]$ che contenga $I$;
d) si risolva, se possibile, $(3+i)x=2$ in $\mathbb Z$ quozientato $(5-i)$.
a) io ho trovato l'MCD tra i polinomi, che sembra essere $(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)$, e dunque ho detto che gli ideali massimali sono $(x-1)$ e $(x^2+x+1)$;
b) dal momento che l'MCD c'è anche in $\mathbb Z[x]$, sarei tentato di concludere come al punto precedente.. ma?
c) dovrei trovare un elemento primo non irriducibile, credo.. ma come?
d) ?
Sia $f(x)=x^4+x^3-x-1$, sia $g(x)=x^{10}-x^7$, sia $I=(f,g)$ l'ideale generato dai due polinomi. Determinare:
a) gli ideali massimali di $\mathbb R[x]$ che contengono $I$;
b) un ideale massimale di $\mathbb Z[x]$ che contenga $I$;
c) un ideale primo non massimale di $\mathbb Z[x]$ che contenga $I$;
d) si risolva, se possibile, $(3+i)x=2$ in $\mathbb Z$ quozientato $(5-i)$.
a) io ho trovato l'MCD tra i polinomi, che sembra essere $(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)$, e dunque ho detto che gli ideali massimali sono $(x-1)$ e $(x^2+x+1)$;
b) dal momento che l'MCD c'è anche in $\mathbb Z[x]$, sarei tentato di concludere come al punto precedente.. ma?
c) dovrei trovare un elemento primo non irriducibile, credo.. ma come?
d) ?
Risposte
...upping...
Allora, la risposta al punto a) è giusta, ma naturalmente andrebbe giustificata. Sapresti farlo?
I tuoi cattivi presentimenti circa il punto b) sono corretti. In effetti, la struttura di [tex]\text{Spec}(\mathbb Z[X])[/tex] è assai più complessa di quella di [tex]\text{Spec}(\mathbb R[X])[/tex]. Ad esempio [tex]\mathbb Z[X] / (X-1) \simeq \mathbb Z[/tex] (perché?) e quindi [tex](X-1)[/tex] è un ideale primo, ma non massimale. Invece ad esempio [tex](2, X-1)[/tex] è un ideale massimale di [tex]\mathbb Z[X][/tex]. Per verificarlo, ti lascio da fare un esercizio davvero utile:
Esercizio. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo e unitario, siano [tex]I,J[/tex] due ideali di [tex]R[/tex]. Allora [tex]R/(I,J) \simeq (R/I)/(\pi_I(J))[/tex], dove [tex]\pi_I[/tex] è la proiezione naturale nel quoziente.
A questo punto [tex]\mathbb Z[X] / (2, X-1) \simeq (\mathbb Z[X] / (X-1)) / (\pi(2)) \simeq \mathbb Z / (2) = \mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e questo è un campo. Pertanto [tex](2,X-1)[/tex] è un ideale massimale e naturalmente contiene [tex]I[/tex].
Nota che non tutti gli ideali generati da elementi irriducibili sono massimali. Questo è vero solo se ci troviamo in domini ad ideali principali.
I tuoi cattivi presentimenti circa il punto b) sono corretti. In effetti, la struttura di [tex]\text{Spec}(\mathbb Z[X])[/tex] è assai più complessa di quella di [tex]\text{Spec}(\mathbb R[X])[/tex]. Ad esempio [tex]\mathbb Z[X] / (X-1) \simeq \mathbb Z[/tex] (perché?) e quindi [tex](X-1)[/tex] è un ideale primo, ma non massimale. Invece ad esempio [tex](2, X-1)[/tex] è un ideale massimale di [tex]\mathbb Z[X][/tex]. Per verificarlo, ti lascio da fare un esercizio davvero utile:
Esercizio. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo e unitario, siano [tex]I,J[/tex] due ideali di [tex]R[/tex]. Allora [tex]R/(I,J) \simeq (R/I)/(\pi_I(J))[/tex], dove [tex]\pi_I[/tex] è la proiezione naturale nel quoziente.
A questo punto [tex]\mathbb Z[X] / (2, X-1) \simeq (\mathbb Z[X] / (X-1)) / (\pi(2)) \simeq \mathbb Z / (2) = \mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e questo è un campo. Pertanto [tex](2,X-1)[/tex] è un ideale massimale e naturalmente contiene [tex]I[/tex].
Nota che non tutti gli ideali generati da elementi irriducibili sono massimali. Questo è vero solo se ci troviamo in domini ad ideali principali.
Ti ringrazio, proverò senz'altro a fare l'esercizio che mi hai segnalato. L'unica cosa è che al momento non mi viene in mente una dimostrazione formale del fatto che l'anello dei polinomi a coefficienti interi quozientato per l'ideale generato da [tex]x-1[/tex] debba essere isomorfo a [tex]\mathbb Z[/tex]... Per il resto mi torna tutto!
Non è difficile. Evidentemente, per il teorema della divisione con resto, ogni classe di [tex]\mathbb{Z}[x]/(x-1)[/tex] può essere rappresentata dall'unico resto della divisione tra il suo rappresentante rappresentante e [tex]x-1[/tex], il quale è un intero. Ovvero, detto [tex]I=(x-1)[/tex], [tex]\mathbb{Z}[x]/(x-1) = \left \{ z + I : z\in \mathbb{Z} \right \}[/tex]. A questo punto puoi facilmente trovare un isomorfismo in [tex]\mathbb{Z}[/tex]...
In realtà è un passaggio mentale che diventa ovvio quando inizi a fare geometria algebrica. Più in generale (non odiarmi!), se [tex]R[/tex] è un anello commutativo unitario e se [tex]X_1, \ldots, X_n[/tex] sono indeterminate (algebricamente indipendenti) possiamo considerare [tex]R[X_1, \ldots, X_n][/tex], l'anello dei polinomi in n incognite. Ora, scelti [tex]a_1, \ldots, a_n \in R[/tex] io affermo che [tex]R[X_1, \ldots, X_n]/(X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n) \simeq R[/tex]. Consideriamo infatti la mappa [tex]\varphi : R[X_1, \ldots, X_n] \to R[/tex] definita da [tex]\varphi(F(X_1, \ldots, X_n)) = F(a_1,\ldots, a_n)[/tex]. La suriettività è ovvia (ricorda i polinomi costanti!); sia ora [tex]F \in \ker \varphi[/tex]. Supponiamo che non sia costante, altrimenti è il polinomio nullo e di certo appartiene all'ideale [tex]I = (X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n)[/tex]. Supponiamo che [tex]F[/tex] abbia grado positivo nella [tex]X_n[/tex] (è chiaro che il discorso vale per ogni altra variabile). Possiamo scrivere allora [tex]\displaystyle G(X_n) := F(X_1, \ldots, X_n) = G_0 + G_1 X_n + \ldots + G_k X_n^k[/tex], dove [tex]G_0, G_1, \ldots, G_k \in A := R[X_1, \ldots, X_{n-1}][/tex]. Ma adesso [tex]G(a_n) = 0[/tex] e quindi per Ruffini si ha [tex](X_n - a_n) \mid G(X_n)[/tex] in [tex]A[X_n][/tex], che significa [tex](X_n - a_n) \mid F(X_1, \ldots, X_n)[/tex], da cui finalmente [tex]F(X_1, \ldots, X_n) \in I[/tex].
Siccome l'inclusione [tex]I \subseteq \ker \varphi[/tex] è ovvia, segue l'uguaglianza e quindi, dal primo teorema di isomorfismo otteniamo [tex]R[X_1, \ldots, X_n]/ I \simeq R[/tex].
Ora, ho paura che la precedente dimostrazione possa spaventarti, quindi la specializzo al caso in esame (può sembrare più facile, ma è esattamente la stessa cosa). Consideriamo la mappa [tex]\varphi : \mathbb Z[X] \to \mathbb Z[/tex] definita da [tex]\varphi(f(X)) = f(1)[/tex]. Che sia un morfismo è ovvio; la suriettività è pure scontata. Quindi rimane da calcolare il nucleo dell'applicazione. Se [tex]f(X) \in \ker \varphi[/tex], allora [tex]f(1) = 0[/tex] e quindi per Ruffini [tex]X-1 \mid f(X)[/tex], da cui [tex]f(X) \in (X-1)[/tex]. Il viceversa è ovvio e quindi [tex]\ker \varphi = (X-1)[/tex], da cui la tesi per il primo teorema di isomorfismo.
Siccome l'inclusione [tex]I \subseteq \ker \varphi[/tex] è ovvia, segue l'uguaglianza e quindi, dal primo teorema di isomorfismo otteniamo [tex]R[X_1, \ldots, X_n]/ I \simeq R[/tex].
Ora, ho paura che la precedente dimostrazione possa spaventarti, quindi la specializzo al caso in esame (può sembrare più facile, ma è esattamente la stessa cosa). Consideriamo la mappa [tex]\varphi : \mathbb Z[X] \to \mathbb Z[/tex] definita da [tex]\varphi(f(X)) = f(1)[/tex]. Che sia un morfismo è ovvio; la suriettività è pure scontata. Quindi rimane da calcolare il nucleo dell'applicazione. Se [tex]f(X) \in \ker \varphi[/tex], allora [tex]f(1) = 0[/tex] e quindi per Ruffini [tex]X-1 \mid f(X)[/tex], da cui [tex]f(X) \in (X-1)[/tex]. Il viceversa è ovvio e quindi [tex]\ker \varphi = (X-1)[/tex], da cui la tesi per il primo teorema di isomorfismo.
Naturalmente, per il caso specifico, va bene anche il procedimento proposto da Richard_Dedekind.
Mi ricollego al titolo del post, per chiedervi se gli ideali di $\mathbb{Z}[X]$ e di $\mathbb{R}[X]$ hanno una qualche particolarità:
-gli ideali di $\mathbb{R}[X]$ mi risulta che sono tutti principali in quanto $\mathbb{R}$ campo implica $\mathbb{R}[X]$ dominio euclideo e ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali. Gli ideali di $\mathbb{R}[X]$ sono acconunati da qualche altra particolarità?
-degli ideali di $\mathbb{Z}[X]$ invece cosa possiamo dire?
Sicuramente non possiamo ripetere lo stesso discorso di sopra perchè $\mathbb{Z}$ non è un campo. Intuitivamente mi verrebbe da dire che gli ideali generati dalle costanti sono principali, come in $\mathbb{Z}$, ma gli altri? Sicuramente ce ne sono di massimali, come nell' esercizio proposto da voi sopra, poi mi chiedo se ci posso essere ideali primi
-gli ideali di $\mathbb{R}[X]$ mi risulta che sono tutti principali in quanto $\mathbb{R}$ campo implica $\mathbb{R}[X]$ dominio euclideo e ogni dominio euclideo è un dominio a ideali principali. Gli ideali di $\mathbb{R}[X]$ sono acconunati da qualche altra particolarità?
-degli ideali di $\mathbb{Z}[X]$ invece cosa possiamo dire?
Sicuramente non possiamo ripetere lo stesso discorso di sopra perchè $\mathbb{Z}$ non è un campo. Intuitivamente mi verrebbe da dire che gli ideali generati dalle costanti sono principali, come in $\mathbb{Z}$, ma gli altri? Sicuramente ce ne sono di massimali, come nell' esercizio proposto da voi sopra, poi mi chiedo se ci posso essere ideali primi
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