Ideali massimali di Z[x]
Ho molti esercizi da risolvere che mi chiedono di stabilire, dato un'ideale di $Z[x]$, se esso è radicale, primo (e fino a qui tutto ok!), massimale (come faccio a saperlo?), e se non è massimale di trovarne uno massimale che contiene l'ideale dato.
Per esempio $I=(x-3)$ oppure $I=(5)$. in entrambi i casi sono ideali principali generati da un polinomio irriducibile, per cui essendo $Z[x]$ un dominio a fattorizzazione unica, sono primi. secondo me non sono massimali perchè posso prendere ad esempio $J=(x-3,2)$ e $J=(5,x)$... mi chiedo: come faccio a dimostrare che questi ideali siano effettivamente massimali e propri??
grazie mille in anticipo!
Per esempio $I=(x-3)$ oppure $I=(5)$. in entrambi i casi sono ideali principali generati da un polinomio irriducibile, per cui essendo $Z[x]$ un dominio a fattorizzazione unica, sono primi. secondo me non sono massimali perchè posso prendere ad esempio $J=(x-3,2)$ e $J=(5,x)$... mi chiedo: come faccio a dimostrare che questi ideali siano effettivamente massimali e propri??
grazie mille in anticipo!
Risposte
Sono ideali propri perché ad esempio non contengono $1$.
Per capire se sono massimali, bisogna capire come sono fatti i polinomi che appartengono ad essi. Ad esempio, in $J$ ci sono tutti i polinomi con termine noto che è multiplo di $5$. Se $J'$ contiene propriamente $J$ deve avere almeno un polinomio con termine noto $c$ che non sia multiplo di $5$ e perciò, poiché $5$ è primo, $c$ è coprimo con esso e si ha $(5,c)=(1)$. Ma $c \in J'$ e quindi $(1)=(5,c) \subseteq J'$, da cui segue che $J' = (1) = \mathbb{Z}[x]$.
Per capire se sono massimali, bisogna capire come sono fatti i polinomi che appartengono ad essi. Ad esempio, in $J$ ci sono tutti i polinomi con termine noto che è multiplo di $5$. Se $J'$ contiene propriamente $J$ deve avere almeno un polinomio con termine noto $c$ che non sia multiplo di $5$ e perciò, poiché $5$ è primo, $c$ è coprimo con esso e si ha $(5,c)=(1)$. Ma $c \in J'$ e quindi $(1)=(5,c) \subseteq J'$, da cui segue che $J' = (1) = \mathbb{Z}[x]$.
Perchè se $J'$ contiene un polinomio con termine noto $c$ coprimo con $5$ allora contiene $c$?
$J'$ contiente tutti polinomi senza termine noto (quelli con termine noto $0$, che fanno parte di $J$). Ma allora
$$c = \bigg(c + \sum_{i=1}^n a_i x^i\bigg) - \bigg(\sum_{i=1}^n a_ix^i \bigg) \in J'$$
Il fatto che $c$ è coprimo con $5$ non interviene in questo, ma nel fatto che $\mcd(5,c) = 1 \implies (5,c) = (1)$
$$c = \bigg(c + \sum_{i=1}^n a_i x^i\bigg) - \bigg(\sum_{i=1}^n a_ix^i \bigg) \in J'$$
Il fatto che $c$ è coprimo con $5$ non interviene in questo, ma nel fatto che $\mcd(5,c) = 1 \implies (5,c) = (1)$
Non contengono $1$ perchè se fosse $1=5f(x)+xg(x)$ con $f,g∈Z[x]$, prendendo $x=0$ ho che $1=5f(0)$, che è impossibile perchè $f(0)∈Z$ giusto?
Se fossimo invece in $Q[x]$ $I=(5)$ e $I=(x-3)$ sarebbero ideali massimali, mentre $J=(1)=Q[x]$ in entrambi i casi?
Se fossimo invece in $Q[x]$ $I=(5)$ e $I=(x-3)$ sarebbero ideali massimali, mentre $J=(1)=Q[x]$ in entrambi i casi?
"martix96":
Non contengono $1$ perchè se fosse $1=5f(x)+xg(x)$ con $f,g∈Z[x]$, prendendo $x=0$ ho che $1=5f(0)$, che è impossibile perchè $f(0)∈Z$ giusto?
Se fossimo invece in $Q[x]$ $I=(5)$ e $I=(x-3)$ sarebbero ideali massimali, mentre $J=(1)=Q[x]$ in entrambi i casi?
Sì, ad esempio, questo è un modo per dimostrarlo. Ma comunque, intuitivamente, sono tutti i polinomi che hanno termine noto multiplo intero di $5$ e quindi non possono contenere $1$.
Su $\mathbb{Q}[x]$, $(5) = (1) = \mathbb{Q}[x]$, mentre $(x-3)$ è massimale per quanto segue.
Poiché $\mathbb{Q}[x]$ è un anello principale, ogni ideale è principale: $J = (f(x))$ per un opportuno polinomio $f$. Ora se $(x-3) \subseteq (f(x))$, questo implica che $f(x) | x-3$, perciò o $f(x)$ è multiplo di $x-3$, e in tal caso $(f(x))=(x-3)$, o è un elemento invertibile dell'anello (cioè un polinomio di grado 0, cioè una costante in $\mathbb{Q}$), e in tal caso $(f(x))=(k)=\mathbb{Q}[x]$
grazie mille!! un'ultima cosa che non mi torna..
$Z[x]$ è un dominio a fattorizzazione unica e non a ideali principali quindi in questa inclusione $(f, g, h, ..)\subset(MCD(f, g, h, ..))$ non dovrebbe valere l'uguaglianza. Se fossimo in $Z$ che è euclideo quest'uguaglianza $(5,c)=(1)$ mi risulterebbe chiara... dove sbaglio?
"Antimius":
Il fatto che $c$ è coprimo con $5$ non interviene in questo, ma nel fatto che $\mcd(5,c) = 1 \implies (5,c) = (1)$
$Z[x]$ è un dominio a fattorizzazione unica e non a ideali principali quindi in questa inclusione $(f, g, h, ..)\subset(MCD(f, g, h, ..))$ non dovrebbe valere l'uguaglianza. Se fossimo in $Z$ che è euclideo quest'uguaglianza $(5,c)=(1)$ mi risulterebbe chiara... dove sbaglio?
Non stai sbagliando affatto. Semplicemente, $5, c \in \mathbb{Z}$ 
Più precisamente puoi immergere i numeri interi nell'anello dei polinomi a coefficienti interi, identificandoli con i polinomi costanti: $\mathbb{Z} rightarrow \mathbb{Z}[x]$
Ma siccome per $\mathbb{Z}$ vale l'identità di Bezout puoi dimostrare che quell'inclusione vale se ti restringi ai polinomi costanti.
Più precisamente puoi immergere i numeri interi nell'anello dei polinomi a coefficienti interi, identificandoli con i polinomi costanti: $\mathbb{Z} rightarrow \mathbb{Z}[x]$
Ma siccome per $\mathbb{Z}$ vale l'identità di Bezout puoi dimostrare che quell'inclusione vale se ti restringi ai polinomi costanti.
Uhh credo di aver capito 
...
Quindi ottengo che tutti i polinomi costanti stanno in $J'$, in particolare $1$, e quindi $J'=Z[x]$?
... Quindi ottengo che tutti i polinomi costanti stanno in $J'$, in particolare $1$, e quindi $J'=Z[x]$?
Esatto 
O meglio, in realtà puoi dire direttamente che $1$ ci appartiene, perché è combinazione lineare di $5$ e $c$ essendo il loro mcd.
O meglio, in realtà puoi dire direttamente che $1$ ci appartiene, perché è combinazione lineare di $5$ e $c$ essendo il loro mcd.
GRAZIE MILLE!!
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