Ideali e polinomi

[N56VZ]

Ciao ragazzi ho il seguente esercizo:
Sia I l'ideale di $Z[x]$ generato dai polinomi $3X+3$ e $X^2+X+1$, dimostrare che 3 appartiene ad I.

La soluzione sembra stupidissima ma non riesco a comprendere ne il perchè ne il come della seguente.
3=3(X^2+X+1)-X(3X+3).

Cosa ha fatto? Ci sono altri modi oltre a questo di svolgere l'esercizio?
Grazie mille!

[stormy1]

"N56VZ":

Cosa ha fatto?

vediamo se ti aiuta questo richiamo teorico :se $H$ è un ideale è anche un sottoanello dell'anello $A$ e quindi $ x,y in HrArr x+y in H $
inoltre,un ideale ha rispetto ad un sottoanello questa proprietà aggiuntiva :
$ a in A,x in HrArr ax in H,xa in H $

[N56VZ]

Comprendo la teoria tuttavia in pratica cosa faccio, prendo a casaccio il 3 e la X perchè appartenendo al Z[x] e li mischio fin quando non ottengo la soluzione?
Non esiste un metodo standard per risolvere?

[stormy1]

per risolvere questi esercizietti basta un po' d'occhio

[N56VZ]

"stormy":per risolvere questi esercizietti basta un po' d'occhio

è davvero così semplice?
scusami ma non riesco

[stormy1]

allora vediamo di risolverlo senza il colpo d'occhio
l'esercizio ci chiede di trovare 2 polinomi $A(x)$ e $B(x)$ tali che $A(x)(x^2+x+1)+B(x)(3x+3)=3$
una prima osservazione che si può fare è che affinchè il risultato sia $3$, $B(x)$ deve essere di un grado maggiore del grado di $A(x)$
proviamo il caso più semplice : $B(x)$ di grado 1 ed $A(x)$ di grado 0,cioe $B(x)=ax+b$ e $A(x)=c$
abbiamo
$c(x^2+x+1)+(ax+b)(3x+3)=3$
facendo i calcoli e raccogliendo si ha $(3a+c)x^2+(3a+c+3b)x+3b+c=3$
per il principio di identità dei polinomi si ha
$ { ( 3a+c=0 ),( 3a+c+b=0 ),( 3b+c=3 ):} $
che ha come soluzione
$ { ( a=-1 ),( b=0 ),( c=3 ):} $
quindi $A(x)=3,B(x)=-x$