Ideali e anelli

[angus89]

Ho un po di problemi nel risolvere esercizi di questo genere

Consideriamo l'anello $ZZ_6[x]$ e gli ideali $(3,3x)$ e $(3x-2)$
1-Dire se sono uguali
2-Se non sono uguali determinarne l'intersezione

La prima idea era mostrare che 3 non e' contenuto in $(3x-2)$

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Puoi iniziare osservando che [tex](3x) \subseteq (3)[/tex] e che [tex](3x-2) \ni 2 \cdot (3x-2)=2[/tex].

[blackbishop13]

$3 notin (3x-2)$ perchè proviamo a trovare $p in ZZ_6[x]$ tale che $p*(3x-2)=3$

evidentemente si dovrà avere che, detto $p=a_nx^n+...+a_0$, allora $-2*a_0=3$ perchè sono gli unici termini di grado $0$.
evidentemente $\nexistsa_0$.

poi come ti ha giustamente detto Martino, trovi un ideale che è contenuto in entrambi.
poi però bisogna vedere se quell'ideale è prorpio l'intersezione.

[angus89]

E si infatti $(3x-2)=(3x,2)$

Quindi ora il nostro problema adesso e' diventato
$(3x,2)$,$(3x,3)$ sono uguali?
Ora diventa piu' facile rispondere, comunque per quanto ha detto blackbishop13 potevamo gia' dirlo

[tex]$(3x,2) \cap (3x,3)=(3x)$[/tex] questo sembra ovvio, ma dimostrarlo un po' meno...

[blackbishop13]

Facciamo ancora un passo
è ovvio che $(3x)sub(3x,3)$ $^^$ $(3x)sub(3x,2)$
da cui $(3x)sube(3x,2)nn(3x,3)$

bisogna allora dimostrare che $(3x)supe(3x,2)nn(3x,3)$
ovvero che $x in (3x,2) ^^ x in (3x,3) \Rightarrow x in (3x)$

direi che si può fare formalizzando il fatto che se $x$ è nell'intersezione, non ha termine noto, e i coefficienti dei termini di grado maggiore o uguale a 1 sono 3 o 0. che è proprio la condizione di inclusione in $(3x)$

[NightKnight1]

Un altro modo è questo:
$A = ZZ // 6 ZZ [X]$, $I=(3,3X)=(3)$, $J=(3X-2)$.
Osservo che $I$ e $J$ sono coprimi: $1 = (1-X)3 + (3X-2) in I + J$.
Allora $I cap J = IJ = (3)(3X-2) = (3(3X-2))=(9X-6)=(3X)$.