Ideali e Anelli

[cesare14]

Salve a tutti, chiedo aiuto a qualcuno per questo esercizio di algebra:
Sia $A$ l'insieme di tutti i numeri complessi del tipo $ (a+ib)/2^n $, dove $a,b,n \in \mathbb{Z}$ e $n\leq0$.
Dopo aver dimostrato che $A$ è sottoanello del campo $\mathbb{C}$ dei complessi, vi è la seguente richiesta: Sia l'anello $\mathbb{Z}={a+ib|a,b \in \mathbb{Z}}$ è sottoanello di $A$. Si dimostri che se $I$ è un ideale di $A$ allora $I\cap\mathbb{Z}$ è un ideale di $\mathbb{Z}$.
Grazie per l'aiuto

[dan952]

$n \leq 0$ e $a,b \in ZZ$ dunque $A sube ZZ$, inoltre $A$ è un ideale di $ZZ$ infatti è chiuso per somma "interna" e chiuso per moltiplicazione "esterna", cioè $\frac{a+ib}{2^n}+\frac{c+id}{2^m}=\frac{e+if}{2^{mn}}$
e preso $a+ib \in ZZ$ e $\frac{c+id}{2^n} \in A$ il loro prodotto è ancora in $A$, dunque se $I$ è un ideale di $A$ lo è anche di $ZZ$.

[cesare14]

Perché $A\subseteq \mathbb{Z}$?

[dan952]

$n \leq 0$ quindi $\frac{a+ib}{2^n}=a2^{-n}+ib2^{-n}$, ovviamente $a2^{-n},b2^{-n} \in ZZ$.

[Luca19961]

Ne approfitto per chiedere, ma se la condizione fosse stata $n>=0$?

[dan952]

Faccio osservare (con $n \leq 0$) che siccome può essere $n=0$ possiamo addirittura affermare che $A=ZZ$.

Rispondendo all'ultima domanda... Se $n \geq 0$ abbiamo che $ZZ \sub A$, risulta inoltre che $I nn ZZ \sub ZZ$ quindi se sommiamo due elementi presi da quest'intersezione otteniamo un elemento appartenente $ZZ$ (sommando interi si ottengono interi) inoltre essendo $I$ ideale di $A$ sommando due elementi appartenenti ad $I$ si ottiene ancora un elemento in $I$, in definitiva sommando due elementi appartenenti a $I nn ZZ$ otteniamo un elemento appartenente sia a $I$ che a $ZZ$ e dunque ancora appartenente all'intersezione dei due. Se prendiamo un elemento di $ZZ$ e lo moltiplichiamo per un elemento di $I nn ZZ$ otteniamo un elemento $m$ di $ZZ$ (perché interi per interi danno interi) inoltre essendo $I$ un ideale di $A$ e $ZZ \sub A$ abbiamo che $m \in I$, e dunque $m \in I nn ZZ$.