Ideali di un anello quoziente

[Sectioaurea]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio:

" Dato $ f = x^4 + 3 \in ( \mathbb{Z} $ / $ \mathbb{Z7})[x]$ , $ I = (f) $ e $ A = ( \mathbb{Z} $ / $ \mathbb{Z7})[x] ) $ / $ I $

elencare gli ideali di A che contengono $ g = x^2 + - 4x + 3 + I $

Come poso risolverlo? Io so che gli ideali di $ A $ sono tutti quelli generati da polinomi $ k $ (ad esempio) tali che $ f $ sia un divisore di $ k $. Ma in questo caso se devono contenere anche $ g $, saranno costituiti da polinomi "divisibili" per $ f $ e $ g $ ? Scusate la pessima spiegazione.. Grazie a chi risponderà!!

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No, devi trovare i divisori di $f$ che dividono anche $g$.

[Sectioaurea]

Io ho trovato un unico polinomio in $ ( \mathbb{Z} $ / $ \mathbb{Z7})[x] ) $ che divide $ f $ e $ g $ ed è $ h = x - 3 $ .. quindi gli ideali di A sono del tipo $ I = h A $ ?

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No, sono del tipo $kA$ dove $k$ è un divisore di $h$.

[Sectioaurea]

Perché non è possibile mettere come generatore un divisore comune di $ f $ e $ g $ ? Scusa ma non mi è molto chiaro l'argomento..

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Gli ideali che contengono $f$ e $g$ corrispondono ai divisori di $h$ (tutti i divisori di $h$, non solo uno).

[Sectioaurea]

Grazie , sei stato molto chiaro!!