Ideali di un anello quoziente

[Pierlu11]

Qualcuno può aiutarmi ad impostare un esercizio del genere?

Sia $ A={( ( a , b ),( 0 , c ) ) |a,b,cinZZ} $ e $ I={( ( a , b ),( 0 , c ) ) |ainnZZ} $ un suo ideale. Descrivere gli ideali di $ A/I $ .

Volevo inoltre chiedervi se potreste indicarmi dei link dove posso trovare degli esercizi su ideali, anelli quoziente e omomorfismi con soluzioni...

[Pierlu11]

Domani ho un esame ma non ho esercizi da fare per prepararmi... qualcuno può aiutarmi?

[Maci86]

"Pierlu11":Sia $ A={( ( a , b ),( 0 , c ) ) |a,b,cinZZ} $ e $ I={( ( a , b ),( 0 , c ) ) |ainnZZ} $ un suo ideale. Descrivere gli ideali di $ A/I $ ..

Prima cosa, magari evitabile, ma per esercizio lo facciamo, vediamo che $I$ è un ideale:
$forall P, Q in I $ e $ forall R in A$
$ P+Q= ( ( np , b_p ),( 0 , c_p ) )+( ( nq , b_q ),( 0 , c_q ) )=( ( n(p+q) , b_p+b_q ),( 0 , c_p+c_q ) ) in I$
$ R*I=( ( a_r , b_r ),( 0 , c_r ) )( ( np , b_p ),( 0 , c_p ) )=( ( n(p a_r) , b_pa_r +b_r c_p ),( 0 , c_r c_p ) ) in I$
$ I*R=( ( np , b_p ),( 0 , c_p ) )( ( a_r , b_r ),( 0 , c_r ) )=( ( n(p a_r) , b_pc_r +n b_r p ),( 0 , c_r c_p ) ) in I$
Si vede subito che se lavoriamo sulla proiezione di $e_(1,1)$ riusciamo a creare un omomorfismo da $A$ in $ ZZ_n$ che ha per nucleo il nostro ideale:
$phi: A->ZZ_n, R|->r_(1,1)(mod n)$
Mostriamo che $ker(phi)=I$:
$(Rightarrow)$
$X in Ker(phi) Rightarrow x_(1,1)=_n 0 Rightarrow x_(1,1)=nZZ Rightarrow X in I$
$(Leftarrow)$
$X in I Rightarrow x_(1,1)=nZZ Rightarrow x_(1,1)=_n 0 Rightarrow X in Ker(phi) $
Ora sai che gli ideali del quoziente sono quelli di $ZZ_n$