Ideali dell'anello degli interi di Gauss Z[i]
Ciao a tutti,
vorrei chiedervi lumi su un esercizio di algebra I che mi è capitato a tiro.
a) Dato l'ideale [tex]I=(4,2+6i)[/tex] in [tex]A=Z[/tex], si chiede se [tex]A/I[/tex] è un campo, un dominio e se è ridotto.
b) Trovare H,K ideali di A tali che [tex]H\subset I\subset K[/tex], [tex]A/K[/tex] campo e [tex]3[/tex] non sia invertibile in [tex]A/H[/tex]
a) La prima idea che ho avuto è cercare di vederlo come ideale principale (visto che Z è a ideali principali), per semplificarmi un po' la vita, ma non ci sono riuscito. A questo proposito c'è un metodo generale per vedere se un ideale è principale?
Rinunciando a questa via, mi sono detto che [tex](4,2+3i) \subset (2,1+3i)[/tex], dunque tale ideale non è massimale, dunque A/I non è un campo.
Analogamente, [tex]4\in I[/tex] e 4=2*2 (le fattorizzazioni su Z valgono ancora su Z?), ma [tex]2\notin I[/tex] perchè non si riesce a scrivere nella forma [tex]4h+(2+3i)k[/tex] con [tex]h,k\in A[/tex].
Per i nilpotenti??
b) Le idee che ho avuto per questo punto mi sono sembrate poco convincenti. Suggerimenti?
vorrei chiedervi lumi su un esercizio di algebra I che mi è capitato a tiro.
a) Dato l'ideale [tex]I=(4,2+6i)[/tex] in [tex]A=Z[/tex], si chiede se [tex]A/I[/tex] è un campo, un dominio e se è ridotto.
b) Trovare H,K ideali di A tali che [tex]H\subset I\subset K[/tex], [tex]A/K[/tex] campo e [tex]3[/tex] non sia invertibile in [tex]A/H[/tex]
a) La prima idea che ho avuto è cercare di vederlo come ideale principale (visto che Z è a ideali principali), per semplificarmi un po' la vita, ma non ci sono riuscito. A questo proposito c'è un metodo generale per vedere se un ideale è principale?
Rinunciando a questa via, mi sono detto che [tex](4,2+3i) \subset (2,1+3i)[/tex], dunque tale ideale non è massimale, dunque A/I non è un campo.
Analogamente, [tex]4\in I[/tex] e 4=2*2 (le fattorizzazioni su Z valgono ancora su Z?), ma [tex]2\notin I[/tex] perchè non si riesce a scrivere nella forma [tex]4h+(2+3i)k[/tex] con [tex]h,k\in A[/tex].
Per i nilpotenti??
b) Le idee che ho avuto per questo punto mi sono sembrate poco convincenti. Suggerimenti?
Risposte
Ricorda che in un dominio [tex]D[/tex] ad ideali principali un ideale [tex]I[/tex] è massimale se e soltanto se il suo generatore è un irriducibile.
Ora, il tuo ideale è generato da due elementi. Mi sembra strano che tu non sappia che se [tex]I=(\alpha, \beta),\;\;\alpha,\beta\in D[/tex] allora [tex]I=(MCD(\alpha,\beta))[/tex] (nota che il M.C.D. è effettivamente ben definito in quanto un P.I.D. è un dominio a fattorizzazione unica).
Ora, il tuo ideale è generato da due elementi. Mi sembra strano che tu non sappia che se [tex]I=(\alpha, \beta),\;\;\alpha,\beta\in D[/tex] allora [tex]I=(MCD(\alpha,\beta))[/tex] (nota che il M.C.D. è effettivamente ben definito in quanto un P.I.D. è un dominio a fattorizzazione unica).
"Richard_Dedekind":
Ricorda che in un dominio [tex]D[/tex] ad ideali principali un ideale [tex]I[/tex] è massimale se e soltanto se il suo generatore è un irriducibile.
Ora, il tuo ideale è generato da due elementi. Mi sembra strano che tu non sappia che se [tex]I=(\alpha, \beta),\;\;\alpha,\beta\in D[/tex] allora [tex]I=(MCD(\alpha,\beta))[/tex] (nota che il M.C.D. è effettivamente ben definito in quanto un P.I.D. è un dominio a fattorizzazione unica).
Sembra strano anche a me -.-
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