Ideali, Anelli e Campi
Buona sera... Chiedo un sostegno per l'esercizio che segue:
Sia A un sottoanello del campo dei numeri reali definito da $A={a + b*sqrt(3) : a,b\ in\ mathbb(Z)}$.
a) Verificare che l'insieme $I={3*x+y*sqrt(3) : x,y\ in\ mathbb(Z)}$ è un ideale di A.
Prima domanda: Se non mi viene specificato che tipo di ideale sia, è sufficiente far vedere che è destro\sinistro o devo far vedere che è bilatero?
In ogni caso, io ho provato a svolgerlo (e qui chiedo solo se è corretto o meno) in questo modo:
Per prima cosa verifico che la somma di due elementi generici di $I$ sia ancora in $I$:
Siano $z,t\ in\ I$. Allora posso scrivere $z=3*x_1\ +\ y_1*sqrt(3)$ e $t=3*x_2\ +\ y_2*sqrt(3)$, con $x_1, x_2, y_1, y_2\ in\ mathbb(Z)$
La somma $z+(-t)=3*x_1+y_1*sqrt(3)-3*x_2-y_2*sqrt(3)=3*(x_1 - x_2)+(y_1-y_2)*sqrt(3)$, dove $(x_1-x_2),(y_1-y_2)\ in\ mathbb(Z)$. Quindi $z+(-t)\ in\ I$.
Ora verifico che il prodotto di due elementi $I$ sia ancora in $I$:
Siano $z,t$ come prima. Allora
$z*t=(3*x_1\ +\ y_1*sqrt(3))*(3*x_2\ +\ y_2*sqrt(3))=3*(3*x_1*x_2+y_1*y_2)+(3*x_1*y_2+3*y_1*x_2)*sqrt(3)$.
Poiché $(3*x_1*x_2+y_1*y_2), (3*x_1*y_2+3*y_1*x_2)\ in\ mathbb(Z)$ si ha che $z*t\ in\ mathbb(Z)$.
Questo dovrebbe bastare a far vedere che $I$ è un ideale di A.
Ora vengono i problemi:
b) Mostrare che $A\I$ è un campo di ordine 3.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Sia A un sottoanello del campo dei numeri reali definito da $A={a + b*sqrt(3) : a,b\ in\ mathbb(Z)}$.
a) Verificare che l'insieme $I={3*x+y*sqrt(3) : x,y\ in\ mathbb(Z)}$ è un ideale di A.
Prima domanda: Se non mi viene specificato che tipo di ideale sia, è sufficiente far vedere che è destro\sinistro o devo far vedere che è bilatero?
In ogni caso, io ho provato a svolgerlo (e qui chiedo solo se è corretto o meno) in questo modo:
Per prima cosa verifico che la somma di due elementi generici di $I$ sia ancora in $I$:
Siano $z,t\ in\ I$. Allora posso scrivere $z=3*x_1\ +\ y_1*sqrt(3)$ e $t=3*x_2\ +\ y_2*sqrt(3)$, con $x_1, x_2, y_1, y_2\ in\ mathbb(Z)$
La somma $z+(-t)=3*x_1+y_1*sqrt(3)-3*x_2-y_2*sqrt(3)=3*(x_1 - x_2)+(y_1-y_2)*sqrt(3)$, dove $(x_1-x_2),(y_1-y_2)\ in\ mathbb(Z)$. Quindi $z+(-t)\ in\ I$.
Ora verifico che il prodotto di due elementi $I$ sia ancora in $I$:
Siano $z,t$ come prima. Allora
$z*t=(3*x_1\ +\ y_1*sqrt(3))*(3*x_2\ +\ y_2*sqrt(3))=3*(3*x_1*x_2+y_1*y_2)+(3*x_1*y_2+3*y_1*x_2)*sqrt(3)$.
Poiché $(3*x_1*x_2+y_1*y_2), (3*x_1*y_2+3*y_1*x_2)\ in\ mathbb(Z)$ si ha che $z*t\ in\ mathbb(Z)$.
Questo dovrebbe bastare a far vedere che $I$ è un ideale di A.
Ora vengono i problemi:
b) Mostrare che $A\I$ è un campo di ordine 3.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Un ideale non è solo chiuso per prodotto, è anche assorbente, cioè per $i\in I$ e $a\in A$ \(ai\in I\ni ia\).
Per un ideale di un anello commutativo, è poi evidente che essere destro ed essere sinistro sono condizioni equivalenti.
Per l'ultima domanda: forse intendi \(A/I\)? E' un campo, perché $I$ è massimale; ed ha 3 elementi, perché... beh, dimostralo tu.
Per un ideale di un anello commutativo, è poi evidente che essere destro ed essere sinistro sono condizioni equivalenti.
Per l'ultima domanda: forse intendi \(A/I\)? E' un campo, perché $I$ è massimale; ed ha 3 elementi, perché... beh, dimostralo tu.
"killing_buddha":
Un ideale non è solo chiuso per prodotto, è anche assorbente, cioè per i∈I e a∈A $ai∈Iniia.
Questo è sacrosanto e sancito dalla definizione. Ma quando verifico se un certo $I$ sia un ideale o meno non è sufficiente far vedere che un prodotto di elementi di $I$ appartenga ancora ad $I$.
"killing_buddha":
Per un ideale di un anello commutativo, è poi evidente che essere destro ed essere sinistro sono condizioni equivalenti.
Questo deriva dal fatto che A è sottoanello del del campo dei reali?
"killing_buddha":
Per l'ultima domanda: forse intendi A/I? E' un campo, perché I è massimale; ed ha 3 elementi, perché... beh, dimostralo tu.
Premetto sempre ai futuri lettori della possibilità che quanto scriverò in seguito è probabilmente una stupidaggine:
Nell'anello quoziente le classi sono della forma :$a\ +\ I={b\ in\ A\ :\ a-b\ in\ I}$. Quindi si ha:
$a-b=a_1+b_1*sqrt(3)-(a_2+b_2*sqrt(3))=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)*sqrt(3)$.
Ci serve $a-b\ in\ I$, quindi ci serve che $a_1-a_2=3*z$, per qualche z intero.
z quindi può essere $0*z',1*z',2*z'$ perché poi si rientra nei casi già citati. Quindi l'ordine 3.
"manuelb93":
[quote="killing_buddha"]Un ideale non è solo chiuso per prodotto, è anche assorbente, cioè per i∈I e a∈A $ai∈Iniia.
Questo è sacrosanto e sancito dalla definizione. Ma quando verifico se un certo $I$ sia un ideale o meno non è sufficiente far vedere che un prodotto di elementi di $I$ appartenga ancora ad $I$.[/quote]
E' una domanda o un'affermazione? No comunque: $\mathbb Z\subset \mathbb R$ è un sottoanello, ma non un ideale (\(3\sqrt{2}\notin \mathbb Z\)).
"killing_buddha":
Per un ideale di un anello commutativo, è poi evidente che essere destro ed essere sinistro sono condizioni equivalenti.
Questo deriva dal fatto che A è sottoanello del del campo dei reali?
No, solo dal fatto che A è commutativo.
"killing_buddha":
Per l'ultima domanda: forse intendi A/I? E' un campo, perché I è massimale; ed ha 3 elementi, perché... beh, dimostralo tu.
Premetto sempre ai futuri lettori della possibilità che quanto scriverò in seguito è probabilmente una stupidaggine:
Nell'anello quoziente le classi sono della forma :$a\ +\ I={b\ in\ A\ :\ a-b\ in\ I}$. Quindi si ha:
$a-b=a_1+b_1*sqrt(3)-(a_2+b_2*sqrt(3))=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)*sqrt(3)$.
Ci serve $a-b\ in\ I$, quindi ci serve che $a_1-a_2=3*z$, per qualche z intero.
z quindi può essere $0*z',1*z',2*z'$ perché poi si rientra nei casi già citati. Quindi l'ordine 3.
Sì, mi sembra giusto sebbene spiegato in modo lievemente confuso.
E' meglio scrivere che, dato un elemento di $A$, puoi ridurre la sua "parte intera" modulo 3, e per fare questo hai solo tre possibilità.
"killing_buddha":Era una domanda, e menomale che l'ho fatta. Quindi sostanzialmente, dopo aver fatto il discorso sulla somma, invece di prendere due generici elementi di $I$, prendo un generico elemento di $I$ e uno di $A$, ne faccio il prodotto e se questo sta in $I$ ho verificato di avere tra le mani un ideale?
E' una domanda o un'affermazione? No comunque: Z⊂R è un sottoanello, ma non un ideale (32–√∉Z).
"killing_buddha":
Sì, mi sembra giusto sebbene spiegato in modo lievemente confuso. E' meglio scrivere che, dato un elemento di A, puoi ridurre la sua "parte intera" modulo 3, e per fare questo hai solo tre possibilità.
Confuso è un eufemismo, ma per il rigore ci vuole tempo. Ti ringrazio molto intanto
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