Ideali
Sia Z l’anello degli interi.
Determinare l’ideale intersezione 6Z intersecato 8Z e l’ideale (6, 8) generato da 6 e da 8.
Come si fa?
Determinare l’ideale intersezione 6Z intersecato 8Z e l’ideale (6, 8) generato da 6 e da 8.
Come si fa?
Risposte
Mi pare ci fosse qualche relazione con $"mcm"(6,8)$ o $"MCD"(6,8)$, ma non mi ricordo bene...
Qualche algebrista ti saprà rispondere sicuramente meglio.
Qualche algebrista ti saprà rispondere sicuramente meglio.
"thedarkhero":
l’ideale intersezione 6Z intersecato 8Z
Si tratta dell'insieme degli interi multipli sia di 6 che di 8.
l’ideale (6, 8) generato da 6 e da 8.
Si tratta dell'insieme degli interi del tipo $6 alpha + 8 beta$ con $alpha,beta in ZZ$.
Con queste informazioni dovresti risolvere facilmente il problema.
Grazie! Risolto.
Mi interesserebbe fare anche questo...
Sia Z(radq(2)) = {a + b*radq(2) | a, b in Z}.
Verificare che Z(radq(2)) è un sottoanello di R, che 3 + 2*radq(2) ha inverso 3 − 2*radq(2) e
che 4 + 2*radq(2) non ha inverso.
Mi interesserebbe fare anche questo...
Sia Z(radq(2)) = {a + b*radq(2) | a, b in Z}.
Verificare che Z(radq(2)) è un sottoanello di R, che 3 + 2*radq(2) ha inverso 3 − 2*radq(2) e
che 4 + 2*radq(2) non ha inverso.
- ma davvero thedarkhero sei riuscito a trovare l'ideale generato da 6 e da 8 solo col suggerimento di Martino?...... non mi pareva un suggerimento così "illuminante"... bravo se ce l'hai fatta! che risultato hai trovato?
- per verificare che è un sotto-anello devi solo applicare le definizioni di anello...
per vedere che quegli elementi sono uno l'inverso dell'altro basta moltiplicarli e vedere che viene fuori 1+0\sqrt(2).
per vedere che non ha inverso prendi un'espressione del tipo $(4+2sqrt(2))(a+bsqrt(2))$ sviluppa l'espressione e la porti nella forma $c+dsqrt(2)$ e vedi che se a e b sono interi non può mai essere c=1, d=0.
- per verificare che è un sotto-anello devi solo applicare le definizioni di anello...
per vedere che quegli elementi sono uno l'inverso dell'altro basta moltiplicarli e vedere che viene fuori 1+0\sqrt(2).
per vedere che non ha inverso prendi un'espressione del tipo $(4+2sqrt(2))(a+bsqrt(2))$ sviluppa l'espressione e la porti nella forma $c+dsqrt(2)$ e vedi che se a e b sono interi non può mai essere c=1, d=0.
Il risultato che ho trovato è che il primo ideale è quello dei multipli di 6 e di 8 cioè i multipli di 48.
Il secondo è quello dei numeri nella forma 6m+8n cioè 0,6,8,14,20,22...
Il secondo è quello dei numeri nella forma 6m+8n cioè 0,6,8,14,20,22...
"thedarkhero":
Il risultato che ho trovato è che il primo ideale è quello dei multipli di 6 e di 8 cioè i multipli di 48.
Il secondo è quello dei numeri nella forma 6m+8n cioè 0,6,8,14,20,22...
Riflettici ancora, sono entrambi sbagliati
P. es. $72$ è multiplo di $6$ e di $8$ ma non di $48$.
P. es. $4$ è della forma $6m+8n$ (con $n=2$ e $m=-2$) e non compare nella tua lista.
Ti consiglio di leggere anche l'intervento di Gugo82.
Il secondo l'ho capito ma il primo no. 72 non è multiplo di 48 no?
"thedarkhero":
Il secondo l'ho capito ma il primo no. 72 non è multiplo di 48 no?
Appunto. Eppure è multiplo di 6 e di 8.
Quello che voglio dire è che ci sono interi che non sono multipli di 48 e che però sono multipli di 6 e di 8. Quindi gli interi multipli di 6 e di 8 non sono i multipli di 48 (non solo).
Ah perfetto! Si ora ho capito. 
Sia f(x) = x^2 + x + 1 in Z3[x].
1. Dire quanti elementi ha l’anello quoziente A = Z3[x]/(f(x)).
2. Verificare se A è dominio di integrità.
1. Dire quanti elementi ha l’anello quoziente A = Z3[x]/(f(x)).
2. Verificare se A è dominio di integrità.
questo provo a farlo, così me lo controlla Martino ... ammetto che oggi pome mi sto annoiando mortalmente....
1. suppongo che per $Z_3$ si intenda $F_3$, ovvero il campo con 3 elementi.
procedimento euristico... cerchiamo dei rappresentanti con una forma decente in quell'insieme... Visto che $F_3$ è un campo l'algoritmo di divisione si può portare a termine e quindi $Z_3[x]$ è un dominio euclideo. Preso un elemento nel quozionte $p(x)+A$ dove $A=(f(x))$ si può scrivere allora $p(x)=q(x)(1+x+x^2)+r(x)$ e prendere $r(x)=a_0+a_1x$ come rappresentante della classe, dove $a_0$ ed $a_1$ sono in $F_3$.
Inoltre ad ogni coppia $(a_0,a_1)$ le classi $a_0+a_1x+A$ sono distinte, visto che se due fossero uguali i polinomi $a_0+a_1x$ e $b_0+b_1x$ dovrebbero essere distinti per un elemento di $A$. Ma gli elementi di $A$ hanno grado maggiore o uguale a due!
Quindi c'è una bigezione tra le coppie $(a_0,a_1)$ e gli elementi di quell'anello, che viene ad avere quindi 9 elementi.
2. brutale: $(x+2)(x+2)=x^2+4x+4=x^2+x+1$... da cui A non è un dominio di integrità
... ammetto che oggi pome mi sto annoiando mortalmente....1. suppongo che per $Z_3$ si intenda $F_3$, ovvero il campo con 3 elementi.
procedimento euristico... cerchiamo dei rappresentanti con una forma decente in quell'insieme... Visto che $F_3$ è un campo l'algoritmo di divisione si può portare a termine e quindi $Z_3[x]$ è un dominio euclideo. Preso un elemento nel quozionte $p(x)+A$ dove $A=(f(x))$ si può scrivere allora $p(x)=q(x)(1+x+x^2)+r(x)$ e prendere $r(x)=a_0+a_1x$ come rappresentante della classe, dove $a_0$ ed $a_1$ sono in $F_3$.
Inoltre ad ogni coppia $(a_0,a_1)$ le classi $a_0+a_1x+A$ sono distinte, visto che se due fossero uguali i polinomi $a_0+a_1x$ e $b_0+b_1x$ dovrebbero essere distinti per un elemento di $A$. Ma gli elementi di $A$ hanno grado maggiore o uguale a due!
Quindi c'è una bigezione tra le coppie $(a_0,a_1)$ e gli elementi di quell'anello, che viene ad avere quindi 9 elementi.
2. brutale: $(x+2)(x+2)=x^2+4x+4=x^2+x+1$... da cui A non è un dominio di integrità
No, per Z3[x] intendo Z modulo 3...
beh si la stessa a cosa credevi mi riferissi?.... non ho ancora ben capito le noazioni il punti è che per $Z/(3Z)$ (di cui quella scrittura credevo fosse una contratture) io considero in genere solo la struttura di gruppo additivo, ma non quella di campo ed ai campi mi sembra si debba riservare la lettera $F$... va bè non so come funziona cmq se ci definisci dei polinomi la struttura moltiplicativa te la devi portare dietro...
Allora non capisco cosa hai fatto nel punto 2...
ho trovato due classi non nulle (identiche in realtà a (x+2)+A ) t.c. quando vengono moltplicate tra loro danno un elemento nullo, ovvero appartenente alla classe nulla... un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x), in questo caso ho trovato proprio f(x).... l' ultima uguaglianza segue solo dal fatto che i coefficienti vanno letti modulo 3...
"Thomas":
un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x)
perchè?
"thedarkhero":
[quote="Thomas"]un polinomio è nella classe nulla solo se è un multiplo di f(x)
perchè?[/quote]
Mi intrometto solo per consigliarti di andare a studiarti la teoria quando ti vengono questi dubbi "esistenziali".
Perchè gli elementi della classe nulla sono quelli dell'ideale per cui quozienti, giusto? !
E quale è questo ideale? quello generato da f(x)? e come è fatto? vale
$(f(x))={p(x)*f(x)| p in F_3[x]}$
l'uguaglianza dei due è un fatto noto e si vede così: a sinistra c'è il più piccolo ideale che contiene $f$. L'insieme a destra è un ideale (verificare!) e contiene f (perchè?), quindi contiene il più piccolo ideale (è una proprietà derivante dal fatto che l'intersezione di ideali è ideali!) e quindi l'insime a destra contiene l'insieme a sinistra.
Ma l'insieme a destra è banalmente contenuto in quello a sinistra, perchè se l'ideale di sinistra contiene f, per definizione di ideale contiene anche pf per ogni p.
Quindi i due insiemi sono uguali.
E quale è questo ideale? quello generato da f(x)? e come è fatto? vale
$(f(x))={p(x)*f(x)| p in F_3[x]}$
l'uguaglianza dei due è un fatto noto e si vede così: a sinistra c'è il più piccolo ideale che contiene $f$. L'insieme a destra è un ideale (verificare!) e contiene f (perchè?), quindi contiene il più piccolo ideale (è una proprietà derivante dal fatto che l'intersezione di ideali è ideali!) e quindi l'insime a destra contiene l'insieme a sinistra.
Ma l'insieme a destra è banalmente contenuto in quello a sinistra, perchè se l'ideale di sinistra contiene f, per definizione di ideale contiene anche pf per ogni p.
Quindi i due insiemi sono uguali.
ma forse in effetti la risposta di Martino è migliore .... anche perchè magari il tuo dubbio è più sulla costruzione del gruppo quoziente o che altro non so... e la nozione di insieme quoziente ha poco a che fare con anelli e forse è meglio vederla "sfoltita" da questi concetti quando si parla solo di gruppi...
.... anche perchè magari il tuo dubbio è più sulla costruzione del gruppo quoziente o che altro non so... e la nozione di insieme quoziente ha poco a che fare con anelli e forse è meglio vederla "sfoltita" da questi concetti quando si parla solo di gruppi...
Sia
f:$Z_18$ -> $Z_3$; $[x]_18$ -> $[x]_3$.
1. Provare che f è ben definita.
2. Trovare Imf.
3. Studiare l’anello quoziente $Z_18$/Kerf.
f:$Z_18$ -> $Z_3$; $[x]_18$ -> $[x]_3$.
1. Provare che f è ben definita.
2. Trovare Imf.
3. Studiare l’anello quoziente $Z_18$/Kerf.
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