Ideale principale

[melli13]

Provare che l'ideale $(X^2-4)nn(X^2-X-6)$ di $QQ[X]$ è pincipale e determinare un suo generatore.

Allora scompongo:
$(X^2-4)=(X-2)(X+2)$
$(X^2-X-6)=(X-3)(X+2)$
$mcm=(X-3)(X^2-4)=f(x)$

Posso dire che l'ideale è principae perchè è generato solo da $f(x)$?
Un suo generatore può essere $(X-3), (X-2)$ oppure $(X+2)$
Va bene..?Scusate ma ho bisogno di conferme per vedere se ho capito
Grazie...

[Paolo902]

Che l'ideale sia principale, segue subito dal fatto che l'intersezione di due ideali è ancora un ideale è che $QQ[X]$ è un PID.

Quanto al generatore, ti invito a ragionarci autonomamente con maggiore calma. Non è difficile, ma è sicuramente un valido esercizio per te.

[melli13]

Ma cos'è un PID?

Però che sciocca....se un ideale è principale, vuol dire che è generato da un solo elemento e quindi $f(x)$ è il generatore. Corretto ora;)?

[Paolo902]

"melli13":Ma cos'è un PID?

Non hai mai sentito parlare di Domini ad Ideali Principali? Scusa, pensavo li conoscessi. Per fartela breve, sono strutture (anelli integri) in cui ogni ideale è principale. Esempi del genere sono $ZZ$ e ovviamente $\mathbb{K}[X]$.

"melli13":Però che sciocca....se un ideale è principale, vuol dire che è generato da un solo elemento e quindi $f(x)$ è il generatore. Corretto ora;)?

Sì, la definizione è esatta e l'ideale intersezione è generato proprio da $f(x)$.

[melli13]

No non lo sapevo....
Grazie Paolo90....

[Paolo902]

Prego, figurati.