Ideale primo o massimale
Ragazzi non riesco proprio a risolvere questo esercizio:
Nell'anello $ ZZ[x] $ si consideri l'ideale $ I=(x^5+x^4-x^3-1 , x^4+x^2+1 , 3) $ e stabilire se è primo o massimale in $ ZZ[x] $.
Non so proprio come procedere perchè non ho mai avuto a che fare con ideali generati da più di 2 elementi.
Nell'anello $ ZZ[x] $ si consideri l'ideale $ I=(x^5+x^4-x^3-1 , x^4+x^2+1 , 3) $ e stabilire se è primo o massimale in $ ZZ[x] $.
Non so proprio come procedere perchè non ho mai avuto a che fare con ideali generati da più di 2 elementi.
Risposte
Come saprai, $I$ e' primo se e solo se l'anello quoziente $Z[X]$/$I$ e' un dominio.
Ora l'anello $Z[X]$/$I$ e' isomorfo a $Z_3[X]$/$J$ dove $J$ e'
l'ideale $(x^5+x^4-x^3-1,x^4+x^2+1)$ di $Z_3[X]$. Questo implica che $I$ e' primo
in $Z[X]$ se e solo se $J$ e' primo in $Z_3[X]$.
Basta quindi considerare l'ideale $J$. Ma $J$ e' generato da due elementi! Adesso provi tu.
Ora l'anello $Z[X]$/$I$ e' isomorfo a $Z_3[X]$/$J$ dove $J$ e'
l'ideale $(x^5+x^4-x^3-1,x^4+x^2+1)$ di $Z_3[X]$. Questo implica che $I$ e' primo
in $Z[X]$ se e solo se $J$ e' primo in $Z_3[X]$.
Basta quindi considerare l'ideale $J$. Ma $J$ e' generato da due elementi! Adesso provi tu.
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