Ideale primo
L'ideale [tex](xz-y^2)[/tex] è primo in K[x,y,z]? Sapreste dirmi di che quadrica si tratta?
Risposte
Dovrebbe essere un cono. E, sì, è primo. Un modo da scansafatiche per vederlo è applicare Eisenstein: lo consideriamo come un elemento di [tex]K[x,z][y][/tex]. Ora, [tex]x[/tex] è primo, [tex]x \mid xz[/tex], [tex]x^2 \nmid xz[/tex], [tex]x \mid 0[/tex] e [tex]x \nmid -1[/tex].
Ma eisenstein si può usare anche in domini? E in questo caso perchè le ultime 2 condizioni sul fatto che x divida 0 e non -1?
Il teorema di Eisenstein vale in assoluta generalità in questa forma:
Teorema. Sia [tex]\mathfrak p[/tex] un ideale primo del dominio di integrità [tex]R[/tex] e sia [tex]f(X) = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0[/tex] un polinomio non costante in [tex]R[X][/tex]. Se [tex]a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \in \mathfrak p[/tex] e [tex]a_0 \not \in \mathfrak p^2[/tex], allora [tex]f(X)[/tex] è irriducibile in [tex]R[X][/tex].
La dimostrazione in questo caso generale è anche più semplice di quella che avevo visto per la prima volta nel caso di [tex]\mathbb Z[/tex].
Infine, le condizioni che ho scritto servono per controllare per bene che le ipotesi siano soddisfatte. Infatti, nel tuo caso abbiamo [tex]R = K[x,z][/tex], [tex]\mathfrak p = (x)[/tex] (osserva che [tex]x[/tex] è irriducibile e quindi, visto che [tex]K[x,z][/tex] è un UFD, è primo, sicché [tex](x)[/tex] risulta effettivamente un ideale primo). Poi aggiungi la variabile [tex]y[/tex], quindi il tuo polinomio si dovrà scrivere [tex]- y^2 + 0 y + xz[/tex]. Chiaramente a meno di cambiare il segno (cosa che non altera l'irriducibilità!) il polinomio è monico, [tex]0, xz \in (x)[/tex] e [tex]xz \not \in (x^2)[/tex]. Quindi per Eisenstein è irriducibile.
Teorema. Sia [tex]\mathfrak p[/tex] un ideale primo del dominio di integrità [tex]R[/tex] e sia [tex]f(X) = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0[/tex] un polinomio non costante in [tex]R[X][/tex]. Se [tex]a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \in \mathfrak p[/tex] e [tex]a_0 \not \in \mathfrak p^2[/tex], allora [tex]f(X)[/tex] è irriducibile in [tex]R[X][/tex].
La dimostrazione in questo caso generale è anche più semplice di quella che avevo visto per la prima volta nel caso di [tex]\mathbb Z[/tex].
Infine, le condizioni che ho scritto servono per controllare per bene che le ipotesi siano soddisfatte. Infatti, nel tuo caso abbiamo [tex]R = K[x,z][/tex], [tex]\mathfrak p = (x)[/tex] (osserva che [tex]x[/tex] è irriducibile e quindi, visto che [tex]K[x,z][/tex] è un UFD, è primo, sicché [tex](x)[/tex] risulta effettivamente un ideale primo). Poi aggiungi la variabile [tex]y[/tex], quindi il tuo polinomio si dovrà scrivere [tex]- y^2 + 0 y + xz[/tex]. Chiaramente a meno di cambiare il segno (cosa che non altera l'irriducibilità!) il polinomio è monico, [tex]0, xz \in (x)[/tex] e [tex]xz \not \in (x^2)[/tex]. Quindi per Eisenstein è irriducibile.
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