Ideale primo

[flavi2]

Ciao a tutti, qualcuno mi suggerisce un modo per determinare condizioni necessarie e sufficienti sull'intero positivo m affinchè l'ideale $I=(m,x^2+y^2)$ sia primo in $Z[x,y]$?
I è primo se e solo se $(Z[x,y])/I$ è un dominio. Dal teorema di isomorfismo trovo che $(Z[x,y])/I$ è isomorfo a $(Z_m[x,y])/(x^2+y^2)$. E ora? Help!

[bezout]

intanto una condizione necessaria è che l'intero m sia un numero primo altrimenti se non fosse primo come ad esempio 12=4*3 ne 4 ne 3 appartengono ad I allora I non è primo.Quella sufficiente purtroppo non riesco a trovarla

[flavi2]

Secondo me si dovrebbe ragionare sull'irriducibilità di $x^2+y^2$ in $Z_m[x,y]$, anche se non so poi se i teoremi che garantiscono che $(A[y])/I$ sia un campo, con A campo e I ideale principale, continuino a valere se A è solo un anello a fattorizzazione unica

[alberto861]

si potrebbe pensare a $Z_m[x,y]$ come $(Z_m[x])[y]=:A[y]$ con $A$ integro se e solo se m è primo..a questo punto il polinomio $x^2+y^2$ è irriducibile in $A[y]$ (una fattorizzazione si trova in $A[y]$ come $(y+ix)(y-ix)$). $A$ è UFD e quindi anche $A[y]$ lo è, negli UFD irriducibili e primi coincidono per cui $(x^2+y^2)$ è primo quindi $A[y] /(x^2+y^2)$ è un dominio integro e dall'isomorfismo segue che anche $Z[x,y] /I$ è un dominio per cui basta che m sia primo..se m non fosse primo si scelgano $p$ e $q$ tali che $pq=m$ allora detto $J=(x^2+y^2)$ risulta in $A[y] /J$ $(p+J)(q+J)=pq+J=m+J$ ma $m=0$ in $A$ per cui $A[y] /J$ non sarebbe un dominio integro.

[flavi2]

è vero! come ho fatto a non pensarci! grazie mille alberto!