Ideale massimale, Ideale primo, Riducibilità
Buongiorno a tutti,
facendo esercizio mi sono imbattuto nel secondo esonero proposto l'8 gennaio 2016 agli studenti di Algebra 2 a Roma 3.
Ho cercato di risolverlo in previsione del mio appello ma devo dire che alcuni dubbi mi sono rimasti.
Esercizio 1
sul primo punto non ho dubbi.
Il punto numero 2) Si dica se $M$ è ideale massimale di $A$ io ho pensato di svolgerlo così
$M$ è massimale di $A$ $hArr$ $A/M$ è campo. Ma $A/M$ è campo $hArr$ per ogni $k$ $in$ $A/M$ esiste $k^-1$ tale che $k$$k^-1$ = 1.
In $ZZ[sqrt(5)]$ $k$ è invertibile $hArr$ $v(k)=$unità. In $ZZ[sqrt(5)]$ le unità sono $+-1$ oppure $(9+8sqrt(5))^n$ per ogni $n$ $in$ $NN$.
$A/M={$ $beta$ $in$ $A:N(beta)$ è dispari$}$
$rArr$ $1+2sqrt(5)$ $in$ $A/M$ e non è invertibile $rArr$ $A/M$ non è campo $rArr$ $M$ non è massimale.
D'altra parte cercando di trovare un ideale che contiene $M$ ma che non sia tutto $A$ mi sono incastrato perchè non l'ho trovato.
Che ne dite? A me sembra tanto strano a dire il vero..
Esercizio 2
1) - $(a,0)*(c,d)=(ac, ad)$ $notin$ $a$ $rArr$ $a$ non è ideale
- $(0,b)*(c,d)=(0, bd)$ $in$ $b$
$(0,b)+-(c,d)=(0, b+-d)$ $in$ $b$ $rArr$ $b$ è ideale
- $(b, b+1)*(c,d)=(bc+c, bd+d+bc)$ ma $(bc+c)-(bd+d+bc)$ $!=$ $1$ $rArr$ $c$ non è ideale
Inoltre $(b, b+1)+(d,d+1)=(b+d+2, b+d)$ $notin$ $c$ $rArr$ $c$ non è ideale nè sottoanello
$b$ è l'unico ideale tra questi tre
inoltre $(0,bc)$ è diviso da (0,a) $hArr$ $a|b$ o $a|c$
è massimale? No perchè se esiste $I$ che contiene $b$ allora $I=<(a,b)>$ $= A$
2) L'unico altro ideale primo è $(0,0)$
$(a,b)$ non è primo perchè non sempre $b|ac+bd$ (per esempio $a=2$, $b=3$, $c=5$, $d=7$ )
Del punto 1 sono abbastanza sicuro, il punto 2, qualcuno potrebbe dirmi se è corretto?
Esercizio 3
Ok.. ammetto che qui ho avuto tantissime difficoltà, più che altro non ho mai visto un esercizio di fattorizzazione in due variabili nè ho trovato esempi simili o qualsiasi cosa che potesse c'entrare. Ho quindi dedotto che potesse essere come fattorizzare nelle due singole variabili l'equazione e quindi scrivere una cosa come p(t) + q(u) nelle due variabili t e u. Se qualcuno potesse gentilmente illustrarmi se ho sbagliato come si fa in generale a fattorizzare polinomi in due variabili ed espanderli come prodotto di irriducibili gliene sarei molto grato.
1) - $T^4$ $+4U^4$ è somma di due quadrati e in $ZZ$ non è riducibile. L'unica cosa che mi è venuta da scrivere è stata:
$T^4$ $+4U^4$ $=(T)^4$ $+(2U^2)^2$
- $T^p$ $+U^2$ $-1$
se $p=2$ è $T+U-1$
se $p>2$ è $T+(U-1)(U+1)$ perchè $x^p$ $=x mod p$ per ogni $x$ $in$ $Fp$
2)
a) $A=(RR(T))/(f(T))$ ma $f(T)$ è sempre riducibile in $RR$ $rArr$ $A$ contiene divisori dello $0$ $rArr$ A non è dominio di integrità nè campo
$A=(QQ(T))/(f(T))$ ma $f(T)$ è riducibile $hArr$ esiste $a$ tale che $f(a)=0$ con $a=+-1,+-3$
Ma allora con $\lambda!= {2,-4,-8,-10}$ $B$ è dominio
b) Per questo punto ho fatto la divisione polinomiale tra $f(T)$ e il polinomio dato e ho posto che il resto venisse una costante. Quindi $\lambda=-1$
facendo esercizio mi sono imbattuto nel secondo esonero proposto l'8 gennaio 2016 agli studenti di Algebra 2 a Roma 3.
Ho cercato di risolverlo in previsione del mio appello ma devo dire che alcuni dubbi mi sono rimasti.
Esercizio 1
sul primo punto non ho dubbi.
Il punto numero 2) Si dica se $M$ è ideale massimale di $A$ io ho pensato di svolgerlo così
$M$ è massimale di $A$ $hArr$ $A/M$ è campo. Ma $A/M$ è campo $hArr$ per ogni $k$ $in$ $A/M$ esiste $k^-1$ tale che $k$$k^-1$ = 1.
In $ZZ[sqrt(5)]$ $k$ è invertibile $hArr$ $v(k)=$unità. In $ZZ[sqrt(5)]$ le unità sono $+-1$ oppure $(9+8sqrt(5))^n$ per ogni $n$ $in$ $NN$.
$A/M={$ $beta$ $in$ $A:N(beta)$ è dispari$}$
$rArr$ $1+2sqrt(5)$ $in$ $A/M$ e non è invertibile $rArr$ $A/M$ non è campo $rArr$ $M$ non è massimale.
D'altra parte cercando di trovare un ideale che contiene $M$ ma che non sia tutto $A$ mi sono incastrato perchè non l'ho trovato.
Che ne dite? A me sembra tanto strano a dire il vero..
Esercizio 2
1) - $(a,0)*(c,d)=(ac, ad)$ $notin$ $a$ $rArr$ $a$ non è ideale
- $(0,b)*(c,d)=(0, bd)$ $in$ $b$
$(0,b)+-(c,d)=(0, b+-d)$ $in$ $b$ $rArr$ $b$ è ideale
- $(b, b+1)*(c,d)=(bc+c, bd+d+bc)$ ma $(bc+c)-(bd+d+bc)$ $!=$ $1$ $rArr$ $c$ non è ideale
Inoltre $(b, b+1)+(d,d+1)=(b+d+2, b+d)$ $notin$ $c$ $rArr$ $c$ non è ideale nè sottoanello
$b$ è l'unico ideale tra questi tre
inoltre $(0,bc)$ è diviso da (0,a) $hArr$ $a|b$ o $a|c$
è massimale? No perchè se esiste $I$ che contiene $b$ allora $I=<(a,b)>$ $= A$
2) L'unico altro ideale primo è $(0,0)$
$(a,b)$ non è primo perchè non sempre $b|ac+bd$ (per esempio $a=2$, $b=3$, $c=5$, $d=7$ )
Del punto 1 sono abbastanza sicuro, il punto 2, qualcuno potrebbe dirmi se è corretto?
Esercizio 3
Ok.. ammetto che qui ho avuto tantissime difficoltà, più che altro non ho mai visto un esercizio di fattorizzazione in due variabili nè ho trovato esempi simili o qualsiasi cosa che potesse c'entrare. Ho quindi dedotto che potesse essere come fattorizzare nelle due singole variabili l'equazione e quindi scrivere una cosa come p(t) + q(u) nelle due variabili t e u. Se qualcuno potesse gentilmente illustrarmi se ho sbagliato come si fa in generale a fattorizzare polinomi in due variabili ed espanderli come prodotto di irriducibili gliene sarei molto grato.
1) - $T^4$ $+4U^4$ è somma di due quadrati e in $ZZ$ non è riducibile. L'unica cosa che mi è venuta da scrivere è stata:
$T^4$ $+4U^4$ $=(T)^4$ $+(2U^2)^2$
- $T^p$ $+U^2$ $-1$
se $p=2$ è $T+U-1$
se $p>2$ è $T+(U-1)(U+1)$ perchè $x^p$ $=x mod p$ per ogni $x$ $in$ $Fp$
2)
a) $A=(RR(T))/(f(T))$ ma $f(T)$ è sempre riducibile in $RR$ $rArr$ $A$ contiene divisori dello $0$ $rArr$ A non è dominio di integrità nè campo
$A=(QQ(T))/(f(T))$ ma $f(T)$ è riducibile $hArr$ esiste $a$ tale che $f(a)=0$ con $a=+-1,+-3$
Ma allora con $\lambda!= {2,-4,-8,-10}$ $B$ è dominio
b) Per questo punto ho fatto la divisione polinomiale tra $f(T)$ e il polinomio dato e ho posto che il resto venisse una costante. Quindi $\lambda=-1$
Risposte
Per quanto riguarda il primo, non ho capito cosa hai fatto. Di solito si cerca di definire $A to ZZ_2$ mandando $x$ nella classe modulo 2 di $N(x)$ sperando che sia un omomorfismo suriettivo (il suo nucleo sarà proprio $M$) per poter applicare il teorema di isomorfismo e concludere che $A//M cong ZZ_2$ è un campo.
Poi guardo gli altri, ora devo uscire.
Poi guardo gli altri, ora devo uscire.
"Martino":
Per quanto riguarda il primo, non ho capito cosa hai fatto. Di solito si cerca di definire $A to ZZ_2$ mandando $x$ nella classe modulo 2 di $N(x)$ sperando che sia un omomorfismo suriettivo (il suo nucleo sarà proprio $M$) per poter applicare il teorema di isomorfismo e concludere che $A//M cong ZZ_2$ è un campo.
Poi guardo gli altri, ora devo uscire.
Giusto!
Era stata la mia iniziale idea ma mi ero poi incastrato con due o tre idee alternative, quali appunto vedere se A/M fosse campo tramite l'invertibilità dei suoi elementi. Comunque si, con un omomorfismo così definito in effetti viene tutto piuttosto chiaramente.
Intanto grazie per la spiegazione e per quelle successive, davvero gentilissimo!
Per quanto riguarda il secondo, non capisco le tue considerazioni qui:
Ti consiglio di procedere in questo modo. Osserva che l'elemento neutro di $A$ rispetto al prodotto è $1_A = (1,0)$ e che $(a,b)$ è invertibile se e solo se $a ne 0$. Sia $I$ un ideale di $A$. Se $I$ contiene un elemento $(a,b)$ con $a ne 0$ allora $I=A$ (perché contiene un elemento invertibile). Mettiamoci nel caso $I ne A$. Allora gli elementi di $I$ hanno la forma $(0,b)$. D'altra parte $(0,b)(c,d) = (0,bc)$ quindi se $b ne 0$ allora $I$ è uguale a $B = \{(0,b)\ :\ b in QQ\}$. Se $I$ non contiene elementi $(0,b)$ con $b ne 0$ allora $I = \{0\}$. Ne segue che gli unici ideali di $A$ sono $0$, $B$ e $A$, e quindi $B$ deve essere massimale.
"Fantorn":Non è vero che (0,0) è un ideale primo, per esempio $(0,1) * (0,1) = (0,0)$. E poi cosa sarebbe $(a,b)$?
2) L'unico altro ideale primo è $(0,0)$
$(a,b)$ non è primo perchè non sempre $b|ac+bd$ (per esempio $a=2$, $b=3$, $c=5$, $d=7$ )
Ti consiglio di procedere in questo modo. Osserva che l'elemento neutro di $A$ rispetto al prodotto è $1_A = (1,0)$ e che $(a,b)$ è invertibile se e solo se $a ne 0$. Sia $I$ un ideale di $A$. Se $I$ contiene un elemento $(a,b)$ con $a ne 0$ allora $I=A$ (perché contiene un elemento invertibile). Mettiamoci nel caso $I ne A$. Allora gli elementi di $I$ hanno la forma $(0,b)$. D'altra parte $(0,b)(c,d) = (0,bc)$ quindi se $b ne 0$ allora $I$ è uguale a $B = \{(0,b)\ :\ b in QQ\}$. Se $I$ non contiene elementi $(0,b)$ con $b ne 0$ allora $I = \{0\}$. Ne segue che gli unici ideali di $A$ sono $0$, $B$ e $A$, e quindi $B$ deve essere massimale.
Per quanto riguarda il terzo,
Prima parte. Il polinomio $T^4+4U^4$ è omogeneo quindi il trucco è scriverlo come $U^4((T/U)^4+4)$ e decomporre il fattore rilevante, $X^4+4$, dove $X=T/U$. Il polinomio $X^4+4$, anche se non sembra, è riducibile, prova.
Riguardo il secondo polinomio, c'è un risultato che dice che se $K$ è un campo di caratteristica $p$ prima e $x^p-t$ è riducibile con $t in K$ allora $t$ è una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Nel tuo caso $K = F_p(U)$ quindi perché $f(T)=T^p+U^2-1$ sia riducibile occorre che $U^2-1$ sia una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Per questioni di grado, questo può succedere solo se $p=2$ e in questo caso $f(T)=(T+U+1)^2$.
Seconda parte. Per quanto riguarda il punto (a), hai scritto giusto ma ricorda che se $B$ è un dominio in questo caso particolare allora è anche un campo. Invece il punto (b) non va bene. Dire che la classe di $T^2-1$ è invertibile è come dire che $T^2-1$ e $f(T)$ sono coprimi, in altre parole, $f(1) ne 0$ e $f(-1) ne 0$. Verranno due valori esclusi per $lambda$.
Prima parte. Il polinomio $T^4+4U^4$ è omogeneo quindi il trucco è scriverlo come $U^4((T/U)^4+4)$ e decomporre il fattore rilevante, $X^4+4$, dove $X=T/U$. Il polinomio $X^4+4$, anche se non sembra, è riducibile, prova.
Riguardo il secondo polinomio, c'è un risultato che dice che se $K$ è un campo di caratteristica $p$ prima e $x^p-t$ è riducibile con $t in K$ allora $t$ è una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Nel tuo caso $K = F_p(U)$ quindi perché $f(T)=T^p+U^2-1$ sia riducibile occorre che $U^2-1$ sia una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Per questioni di grado, questo può succedere solo se $p=2$ e in questo caso $f(T)=(T+U+1)^2$.
Seconda parte. Per quanto riguarda il punto (a), hai scritto giusto ma ricorda che se $B$ è un dominio in questo caso particolare allora è anche un campo. Invece il punto (b) non va bene. Dire che la classe di $T^2-1$ è invertibile è come dire che $T^2-1$ e $f(T)$ sono coprimi, in altre parole, $f(1) ne 0$ e $f(-1) ne 0$. Verranno due valori esclusi per $lambda$.
"Martino":
Per quanto riguarda il terzo,
Prima parte. Il polinomio $T^4+4U^4$ è omogeneo quindi il trucco è scriverlo come $U^4((T/U)^4+4)$ e decomporre il fattore rilevante, $X^4+4$, dove $X=T/U$. Il polinomio $X^4+4$, anche se non sembra, è riducibile, prova.
Riguardo il secondo polinomio, c'è un risultato che dice che se $K$ è un campo di caratteristica $p$ prima e $x^p-t$ è riducibile con $t in K$ allora $t$ è una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Nel tuo caso $K = F_p(U)$ quindi perché $f(T)=T^p+U^2-1$ sia riducibile occorre che $U^2-1$ sia una potenza $p$-esima di un elemento di $K$. Per questioni di grado, questo può succedere solo se $p=2$ e in questo caso $f(T)=(T+U+1)^2$.
Seconda parte. Per quanto riguarda il punto (a), hai scritto giusto ma ricorda che se $B$ è un dominio in questo caso particolare allora è anche un campo. Invece il punto (b) non va bene. Dire che la classe di $T^2-1$ è invertibile è come dire che $T^2-1$ e $f(T)$ sono coprimi, in altre parole, $f(1) ne 0$ e $f(-1) ne 0$. Verranno due valori esclusi per $lambda$.
Intanto ti ringrazio tantissimo delle risposte, ti illustro quanto ho fatto per scomporre il polinomio di 4 grado e poi ti pongo un ultimo quesito, sempre su queste scomposizioni.
Intanto ti ringrazio ancora per l'esercizio 2 hai perfettamente ragione, alla fine mi son perso, la tua spiegazione è chiarissima e mi ritrovo perfettamente.
Sul terzo esercizio ho provato a scomporre $X^4+4$. Visto che non può essere divisibile per polinomi monici, altrimenti avrebbe radici visibili tramite il teorema di Ruffini e chiaramente in Z non ne ha, ho provato a impostare un'equazione del tipo $ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f) $ tenendo conto che $ ad=1 $ , quindi o $ a=d=1 $ o $ a=d=-1 $ e ho solo 4 possibilità per $ cf=4 $ . questo mi crea un massimo di 8 sistemi da tenere in considerazione nello sviluppo dei termini di altro grado (i.e. 1-2-3) i cui coefficenti sommati devono essere uguali a 0 dandomi in effetti come scomposizione $ (x^2+2x+2)(x^2-2x+2) $ . Ora entrambi questi polinomi sono irriducibili in Z perchè altrimenti sarebbero scrivibili come polinomi di primo grado e dovrebbero avere radice tramite Ruffini, quindi questa è la mia finale scomposizione.
L'ultima domanda riguarda la scomposizione di questo polinomio:
$ x^2016+x^2y^2+t^2+y^2+1 in R[x,t] $ e successivamente $ in C(x,y) $
ora partendo da R, io ho inizialmente raccolto $ x ^2 $ e poi raccolto per parti arrivando alla forma $ x^2016 + (x^2+1)(y^2+1) $ . ora dovrei trovare però un modo di togliere quella somma a favore di una moltiplicazione ma non ci riesco proprio.
Ciao, se oggi trovo un attimo ti rispondo all'ultima domanda, ma prima ho bisogno di un chiarimento.
Sarebbe utile se riportassi esattamente parola per parola con la massima precisione il testo dell'esercizio.
"Fantorn":Non capisco la domanda. Devi decomporre il polinomio? O devi solo dire se è decomponibile? Inoltre sto vedendo tre variabili: $x,y,t$. Quante variabili ci sono?
L'ultima domanda riguarda la scomposizione di questo polinomio:
$ x^2016+x^2y^2+t^2+y^2+1 in R[x,t] $ e successivamente $ in C(x,y) $
Sarebbe utile se riportassi esattamente parola per parola con la massima precisione il testo dell'esercizio.
"Martino":Non capisco la domanda. Devi decomporre il polinomio? O devi solo dire se è decomponibile? Inoltre sto vedendo tre variabili: $x,y,t$. Quante variabili ci sono?
Ciao, se oggi trovo un attimo ti rispondo all'ultima domanda, ma prima ho bisogno di un chiarimento.[quote="Fantorn"]L'ultima domanda riguarda la scomposizione di questo polinomio:
$ x^2016+x^2y^2+t^2+y^2+1 in R[x,t] $ e successivamente $ in C(x,y) $
Sarebbe utile se riportassi esattamente parola per parola con la massima precisione il testo dell'esercizio.[/quote]
No le variabili sono solo due, chiedo scusa, t è stato un mio errore di battitura. La domanda dell'esercizio è:
si discuta l'irriducibilità del polinomio
$ x^2016+x^2y^2+x^2+y^2+1 in R[x,y] $ e successivamente $ in C(x,y) $
individuando, se è possibile, la sua espansione come prodotto di irriducibili.
E’ utile scrivere $RR[x,y]=RR[y][x]$. Il tuo polinomio e’ un polinomio di Eisenstein nel variabile
$x$ rispetto al primo $y^2+1$ del PID $RR[y]$. Stesso cosa rispetto al primo $y+i$ di $CC[y]$.
$x$ rispetto al primo $y^2+1$ del PID $RR[y]$. Stesso cosa rispetto al primo $y+i$ di $CC[y]$.
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