Ideale massimale di $ \mathbb{Z}[x] $ generato da un polinomio

[Sectioaurea]

Salve a tutti , risolvendo vari esercizi di algebra spesso si chiede se un ideale generato da un polinomio è massimale (o primo) . Il problema sorge quando questo ideale appartiene a $ \mathbb{Z} [x] $ . Poiché questo non è un dominio a ideali principali non posso provare che l'ideale è massimale quando il polinomio generatore è irriducibile . Come faccio a risolvere questo problema? Grazie a chi mi risponderà

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In $ZZ[x]$ un ideale generato da un unico polinomio non può essere massimale. E' una cosa che si dimostra. Gli ideali massimali di $ZZ[x]$ sono del tipo $(p,f(x))$ dove $p$ è un numero primo e $f(x)$ è un polinomio irriducibile modulo $p$.

[Sectioaurea]

E in $\mathbb{F_p[x]} $ con $ p \in \mathbb{P} $ ?

[Shocker1]

"Fra27":E in $\mathbb{F_p[x]} $ con $ p \in \mathbb{P} $ ?

$\mathbb{F_p[x]}$ è un anello euclideo, quindi gli ideali massimali sono tutti e soli quelli generati da un irriducibile.

"Martino":In $ ZZ[x] $ un ideale generato da un unico polinomio non può essere massimale. E' una cosa che si dimostra. Gli ideali massimali di $ ZZ[x] $ sono del tipo $ (p,f(x)) $ dove $ p $ è un numero primo e $ f(x) $ è un polinomio irriducibile modulo $ p $.

Interessante. Come dimostri che $(p, f(x))$ è massimale? Usi il secondo teorema di omomorfismo? C'è qualche condizione a cui deve sottostare $f$? Ad esempio $p$ non deve dividere il coefficiente direttivo [strike]oppure il contenuto[/strike]? Edit: beh se $f$ è irriducibile in $ZZ[x]$ allora deve essere necessariamente primitivo.

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"Shocker":Come dimostri che $(p, f(x))$ è massimale?

Beh che $(p,f(X))$ è massimale è facile, [tex]\mathbb{Z}[X]/(p,f(X)) \cong \mathbb{F}_p[X]/(\overline{f(X)})[/tex] è un campo quando $f(X)$ è irriducibile modulo $p$. E' il viceversa che è difficile (cioè se un ideale è massimale allora è di quel tipo). Vedi qui(1) e anche qui(2). Tra parentesi il fatto che $(p,f(X))$ non è principale (quando il grado di $f$ è maggiore di zero) è un fatto facile ma non banale.

Tra parentesi, segnalo a tutti questo compendio di discussioni di algebra nel forum.

Il fatto che [tex]\mathbb{Z}[X]/(f(X))[/tex] non è un campo (cioè che [tex](f(X))[/tex] non è massimale in [tex]\mathbb{Z}[X][/tex]) si può dimostrare facilmente. Supponi che sia un campo, per assurdo. Se [tex]f(X) = n \in \mathbb{Z}[/tex] ha grado zero allora il quoziente è [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[X][/tex] che ovviamente non è un campo. Se [tex]f(X)[/tex] ha grado maggiore di zero allora [tex]p \not \in (f(X))[/tex] per ogni numero primo [tex]p[/tex], che quindi è invertibile modulo [tex]f(X)[/tex], scrivi [tex]g(X)p-1 = f(X)h(X)[/tex]. Riducendo modulo $p$ ottieni [tex]f(X)h(X) \equiv -1 \mod p[/tex] e questo vale in [tex]\mathbb{F}_p[X][/tex], quindi ottieni una contraddizione scegliendo [tex]p[/tex] che non divide il termine di grado massimo di [tex]f(X)[/tex] (un polinomio di grado positivo non può essere invertibile in [tex]\mathbb{F}_p[X][/tex]).