Ideale massimale
Ciao a tutti!!....e' vero che (X) e' un ideale massimale di $ CC [X] $ e di $ ZZ[X]$ ?
Risposte
Se non ricordo male dalla teoria dovrebbe essere:
$K$ campo $=> K[x]$ principale, quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. Però ricordo che per studiare la massimalità di un anello bisognava guardare l'irriducibilità dell'elemento che generava l'anello. Ma quando un anello è principale il concetto di irriducibilità coincideva con quello di massimalità.
$K$ campo $=> K[x]$ principale, quindi ogni ideale è generato da un unico elemento. Però ricordo che per studiare la massimalità di un anello bisognava guardare l'irriducibilità dell'elemento che generava l'anello. Ma quando un anello è principale il concetto di irriducibilità coincideva con quello di massimalità.
Ti consiglio di usare il fatto che dato un anello commutativo [tex]A[/tex], un ideale [tex]I[/tex] di [tex]A[/tex] e' massimale se e solo se il quoziente [tex]A/I[/tex] e' un campo.
Grazie mille!! 
per la prima parte della mia domanda ho pensato di ragionare in questo modo: so che se K è un campo ogni polinomio $ f in K[x] $ di grado 1 è irriducibile e che quindi K[x]/(f) è un campo e che l'ideale (x) è massimale se e solo se K[x]/(x) è un campo. Nel mio caso K=$CC$ e so che ($CC$,+,*) è un campo e che per il teorema fondamentale dell'Algebra i polinomi irriducibili su $CC$ sono esattamente di grado 1,allora sono irriducibili su $CC$,da cui deriva che ($CC$[x])/(x) è un campo e allora (x) è un ideale massimale di $CC$[x].
Per la seconda parte invece ragiono come in precedenza e pongo K=$ZZ$ ma sapendo che $ZZ$ è un dominio ma non un campo arrivo così alla fine della dimostrazione! E' giusto questo ragionamento?!?
per la prima parte della mia domanda ho pensato di ragionare in questo modo: so che se K è un campo ogni polinomio $ f in K[x] $ di grado 1 è irriducibile e che quindi K[x]/(f) è un campo e che l'ideale (x) è massimale se e solo se K[x]/(x) è un campo. Nel mio caso K=$CC$ e so che ($CC$,+,*) è un campo e che per il teorema fondamentale dell'Algebra i polinomi irriducibili su $CC$ sono esattamente di grado 1,allora sono irriducibili su $CC$,da cui deriva che ($CC$[x])/(x) è un campo e allora (x) è un ideale massimale di $CC$[x]. Per la seconda parte invece ragiono come in precedenza e pongo K=$ZZ$ ma sapendo che $ZZ$ è un dominio ma non un campo arrivo così alla fine della dimostrazione! E' giusto questo ragionamento?!?
si penso che vada bene...
puoi anche dire: $ZZ[x]$ non è principale quindi irriducibile non implica massimale. Quindi il tuo anello non è massimale
puoi anche dire: $ZZ[x]$ non è principale quindi irriducibile non implica massimale. Quindi il tuo anello non è massimale
Piano. L'argomento piu' pulito e meno equivoco e' questo: dato un anello commutativo [tex]A[/tex], siccome [tex]A[X]/(x) \cong A[/tex], l'ideale [tex](x)[/tex] di [tex]A[X][/tex] e' massimale se e solo se [tex]A[/tex] e' un campo.
Vi ringrazio molto!..
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