Ideale [J:I]

[margherita.ciampi]

Siano $I$ e $J$ ideali di una nello commutativo $A$ e si ponga
$[J]={x \in A | ax \in I \ per \ ogni\ a \in J}$
Si provi che tale insieme è un ideale di $A$ che contiene $I$

siano $h,k \in [J] $ allora $ah \in I$ e $ak \in I$ per ogni $a \in J$
si ha : $a(h-k)=ah-ak \in I $ ciò implica che $h-k \in [J]$

sia $ h \in [J]$ allora $ah \in I $ per ogni $a\in J$
per ogni $b \in A$ si ha : $a(bh)=b(ah) \in I$ (tale prodotto sta in $I$ in quanto $I$ è ideale di $A$) ciò implica che $bh \in [J]$

abbiamo così dimostrato che $[J]$ è ideale di $A$

non so come dimostrare che $I$ e contenuto in $[J]$. Ho pensato di dimostrare che ogni elemento di $I$ sta in $[J]$ ma non riesco a formalizzarlo. Grazie in anticipo per l'aiuto

[Reyzet]

Prendi $x \in I$ ciò che ti serve è che preso $j \in J$, si abbia $jx \in I$, ma ciò è evidente per la proprietà di assorbimento dell'ideale (cioè gli elementi dell'ideale "assorbono" gli elementi di A tramite prodotto, quindi in particolare quelli di J vengono "assorbiti") perciò $x \in [J]$

[margherita.ciampi]

puoi spiegarmi meglio questo "assorbimento"??

[Reyzet]

È semplicemente una delle due proprietà che caratterizzano gli ideali ovvero:
$\forall a\in A, i\in I$ si ha $ai \in I$ (se A commutativo, altrimenti va distinto il prodotto a dx e sx)

[margherita.ciampi]

"Reyzet":Prendi $x \in I$ ciò che ti serve è che preso $j \in J$, si abbia $jx \in I$

$j$ oltre ad essere un elemento di $J$ è anche un elemento di $A$ quindi essendo $I$ ideale si ha $jx \in I$. Giusto?

[Reyzet]

Sì