Ideale generato da un polinomio

[squalllionheart]

Salve rega allora vorrei una delucidazione
sia I ideale di $ZZ_5[x]$
$I=(x^3+x^2+4x+4, x^3+3x+4)$
allora $I=(x+1)$
dove $x+1$ è il massimo comun divisore tra i due polinomi.
mi date una spigazione di questo evento.
E in generale accade sempre così.
se I ideale e $I=(f(x),g(x))$=$Mcd(f(x),g(x))$
Grazie e spero a presto.

[miuemia]

beh ovviamente hai le due facili inclusioni in quanto:
$x+1=a(x)(x^3+x^2+4x+4)+b(x)(x^3+3x+4)$ per opportuni $a(x),b(x)$ nell'anello dei polinomi

e poi hai che $x^3+x^2+4x+4=(x+1)(x^2+4)$
e $x^3+3x+4=(x+1)(x^2-x+4)$

quindi hai che $(x+1)=(x^3+x^2+4x+4,x^3+3x+4)$

[squalllionheart]

Si. Ma a livello teorico discende dal fatto che il massiomo comun divisore per opportuni a(x) e b(x) genera f(x) e g(x)?
Quindi potemmo scrivere $I={(x+1)f(x) : f(x)in ZZ_5[x]}$ ?
Grazie e a presto.

[miuemia]

si per quello.