Ideale generato da due elementi
ciao a tutti ho un dubbio riguardo gli ideali generati da due elementi in $CC[u,v,w]$, in particolare
dati questi due ideali $A=(v+w^{m}g(w),w)$ dove $m\in NN$ è fissato e $g(w)$ è un polinomio anch'esso fissato.
mi chiedo in che relazione sta con l'ideale $B=(v,w)$.
io ho pensato che sicuramente $A\subset B$ in quanto posso esprimere $v+w^{m}g(w)$ in termini di $v$ e $w$ cioè
$v+w^{m}g(w)=v+ w(w^{m-1}g(w))$ corretto?
d'altra parte riesco a esprimere anche $v$ in termini di $v+w^{m}g(w)$ e $w$ infatti
$v=v+w^{m}g(w)-w(w^{m-1}g(w)) $ quindi mi verrebbe da dire che i due ideali coincidono. è sbagliato??
dati questi due ideali $A=(v+w^{m}g(w),w)$ dove $m\in NN$ è fissato e $g(w)$ è un polinomio anch'esso fissato.
mi chiedo in che relazione sta con l'ideale $B=(v,w)$.
io ho pensato che sicuramente $A\subset B$ in quanto posso esprimere $v+w^{m}g(w)$ in termini di $v$ e $w$ cioè
$v+w^{m}g(w)=v+ w(w^{m-1}g(w))$ corretto?
d'altra parte riesco a esprimere anche $v$ in termini di $v+w^{m}g(w)$ e $w$ infatti
$v=v+w^{m}g(w)-w(w^{m-1}g(w)) $ quindi mi verrebbe da dire che i due ideali coincidono. è sbagliato??
Risposte
Giusto. Pero' da quello che scrivi sembri assumere che [tex]m \geq 1[/tex], mentre quanto dici e' vero anche per [tex]m=0[/tex], e in questo caso dovresti usare un argomento un po' diverso.
si esatto assumo $m>=1$ e nel caso fosse zero come dovrei fare?
"miuemia":E' facile, prova.
si esatto assumo $m>=1$ e nel caso fosse zero come dovrei fare?
si l'ho risolto avevi ragione era facile.
un'altro dubbio sempre sulla stessa stregua di prima, se invece ho il seguente ideale $(v(u+g(w)),w)$
dove $g$ è sempre un polinomio, posso dire qualcosa di più preciso? cioè posso ricondurlo ad un ideale un pò più semplice?
ad esempio so che è contenuto nell'ideale $(v,w)$ ma non posso dire nient'altro?
se ad esempio l'elemento $u+g(w)$ può essere invertibile? e se si come posso fare per provarlo?
grazie ancora
un'altro dubbio sempre sulla stessa stregua di prima, se invece ho il seguente ideale $(v(u+g(w)),w)$
dove $g$ è sempre un polinomio, posso dire qualcosa di più preciso? cioè posso ricondurlo ad un ideale un pò più semplice?
ad esempio so che è contenuto nell'ideale $(v,w)$ ma non posso dire nient'altro?
se ad esempio l'elemento $u+g(w)$ può essere invertibile? e se si come posso fare per provarlo?
grazie ancora
"miuemia":Togliendo dal primo generatore opportuni multipli del secondo, quell'ideale lo puoi scrivere cosi': [tex](v(u+g(0)),w)[/tex].
$(v(u+g(w)),w)$
Ah, questo vale anche nell'altro esercizio: se [tex]m=0[/tex] il tuo ideale e' [tex](v+g(0),w)[/tex], non [tex](v,w)[/tex].
non capisco come fai ad ottenere quell'ideale. che multipli devi togliere?
scusa ma non mi è chiaro
scusa ma non mi è chiaro
ok si si ho capito!! ho fatto mi sono fatto una dimostrazione. grazie mille per l'aiuto
aspetta un dubbio ma perchè prendi $g(0)$ e non $g(3)$ ad esempio? scusa la domanda stupida
"miuemia":Perché esiste un polinomio [tex]h(w)[/tex] tale che [tex]g(w)=g(0)+w \cdot h(w)[/tex]. Mi interessa isolare la parte che e' un multiplo di w.
aspetta un dubbio ma perchè prendi $g(0)$ e non $g(3)$ ad esempio? scusa la domanda stupida
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