Ideale d'ordine
Nella mia dispensa viene definito:
dato un qualsiasi insieme ordinato, un sottoinsieme $A$ per cui $a in A$ e $b
Ad esempio: posto $RR$ l'insieme dei reali e $A sub RR = {x in RR | x^2}$, $A$ può essere un ideale d'ordine?
dato un qualsiasi insieme ordinato, un sottoinsieme $A$ per cui $a in A$ e $b
Ad esempio: posto $RR$ l'insieme dei reali e $A sub RR = {x in RR | x^2}$, $A$ può essere un ideale d'ordine?
Risposte
Ciao.
Probabilmente hai dimenticato qualcosa nella definizione di $A$..
Probabilmente hai dimenticato qualcosa nella definizione di $A$..
Intendi la proprietà che $AAa in A, EEb in A | b>a$ ??
No, tu scrivi:
Ecco, quell'insieme $A$ che tu dici qui manca di qualcosa nella definizione.
A parole si legge: "$A$ è l'insieme dei numeri reali tali che il loro quadrato"
Tali che il loro quadrato....... faccia cosa???
Ad esempio: posto ℝ l'insieme dei reali e A⊂ℝ={x∈ℝ|x2}, A può essere un ideale d'ordine?
Ecco, quell'insieme $A$ che tu dici qui manca di qualcosa nella definizione.
A parole si legge: "$A$ è l'insieme dei numeri reali tali che il loro quadrato"
Tali che il loro quadrato....... faccia cosa???
Ops... hai ragione!!! Volevo scrivere $A sup RR = {x in RR | x^2 < \alpha}$ per qualche $\alpha in RR$.
$A$ in questo caso può essere un ideale d'ordine?
PS. sto cercando di capire il teorema di completezza di Dedekind, per cui si definisce $RR$ completo, ovvero che qualsiasi suo sottoinsieme se limitato inferiormente ammette estremo inferiore, e se limitato superiormente ammette estremo superiore.
$A$ in questo caso può essere un ideale d'ordine?
PS. sto cercando di capire il teorema di completezza di Dedekind, per cui si definisce $RR$ completo, ovvero che qualsiasi suo sottoinsieme se limitato inferiormente ammette estremo inferiore, e se limitato superiormente ammette estremo superiore.
In quel caso mi pare che $A$ non rispetti la definizione che tu dai di ideale d'ordine.. Infatti, l'insieme che tu descrivi (che è definito solo per $a>0$, ma questo poco importa) altri non è che l'intervallo $(-\sqrt{a},\sqrt{a})$. Ora, $0 \in A$ e $-\sqrt{a} -1 < 0$. Se $A$ fosse ideale d'ordine, secondo la definizione che tu hai dato, dovrebbe essere $-\sqrt{a}-1 \in (-\sqrt{a},\sqrt{a})$, che è ovviamente assurdo 
Ciao. La tua dispensa tratta per caso della teoria dei reticoli? In quel contesto si parla di ideali, ma non ho mai sentito utilizzare l'aggettivo "d'ordine". Mi sembra però che il contesto sia giusto...
@mikey88: hai ragine
@maurer: no, niente teoria dei reticoli.
Devo ammettere che questo teorema non riesco a digerirlo, forse è banale ma ho le idee un pò confuse.
Da quello che ho capito questo teorema implica che l'insieme dei numeri reali $RR$ sia completo o, come trovato su altri testi, denso, cioè che "ricopre" completamente una retta: in pratica c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di $RR$ e i punti di una retta. Questo concetto viene definito tramite il fatto che gli insiemi di una sezione di Dedekind siano contigui, cioè che l'estremo superiore del primo insieme coincida con l'estremo inferiore del secondo insieme: $x=\text{Sup} A = \text{Inf} B$, ovvero detto $A$ il primo insieme e $B$ il secondo, sia ha:
$A,B$ sono contigui $<=> a<=b AAa in A, AAb in B$ e $AA\epsilon>0 EEa in A , EEb in B | b-a<\epsilon$
dove $x$ è l'elemento di separazione.
Ora nella mia dispensa il teorema di Dedekind viene enunciato nel seguente modo:
Sia $A$ un sottoinsieme proprio di $RR$. Se $A$ è un ideale d'ordine che non ammette massimo allora esiste in $RR$ uno ed uno solo elemento $\alpha$ tale che $A={x in RR | x<\alpha}$. Quindi dato un insieme $A={x in RR | x<\alpha}$ e il suo complemento $CA=RR\\A$, si ottiene una sezione $\alpha=(A,CA)$ chiamato elemento separatore.
L'ideale d'ordine viene definito come un insieme che soddisfa le seguenti proprietà:
$AAa in A$ , $EEb in A | b>a$
se $a in A ^^ b b in A$
@maurer: no, niente teoria dei reticoli.
Devo ammettere che questo teorema non riesco a digerirlo, forse è banale ma ho le idee un pò confuse.
Da quello che ho capito questo teorema implica che l'insieme dei numeri reali $RR$ sia completo o, come trovato su altri testi, denso, cioè che "ricopre" completamente una retta: in pratica c'è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di $RR$ e i punti di una retta. Questo concetto viene definito tramite il fatto che gli insiemi di una sezione di Dedekind siano contigui, cioè che l'estremo superiore del primo insieme coincida con l'estremo inferiore del secondo insieme: $x=\text{Sup} A = \text{Inf} B$, ovvero detto $A$ il primo insieme e $B$ il secondo, sia ha:
$A,B$ sono contigui $<=> a<=b AAa in A, AAb in B$ e $AA\epsilon>0 EEa in A , EEb in B | b-a<\epsilon$
dove $x$ è l'elemento di separazione.
Ora nella mia dispensa il teorema di Dedekind viene enunciato nel seguente modo:
Sia $A$ un sottoinsieme proprio di $RR$. Se $A$ è un ideale d'ordine che non ammette massimo allora esiste in $RR$ uno ed uno solo elemento $\alpha$ tale che $A={x in RR | x<\alpha}$. Quindi dato un insieme $A={x in RR | x<\alpha}$ e il suo complemento $CA=RR\\A$, si ottiene una sezione $\alpha=(A,CA)$ chiamato elemento separatore.
L'ideale d'ordine viene definito come un insieme che soddisfa le seguenti proprietà:
$AAa in A$ , $EEb in A | b>a$
se $a in A ^^ b b in A$
Premesso che non mi è chiaro esattamente cosa tu non abbia capito, provo comunque a fare un sunto del discrorso (dato che, poi, le tue "dispense" sono anche le mie =) ).
Allora, tu hai definito i numeri reali come sezioni di Dedekind sui razionali. Il procedimento è stato questo (partiamo da $\sqrt{2}$):
1. In $\QQ$ non esiste $\alpha$ tale che $\alpha^2=2$;
2. Possiamo suddividere $\QQ$ in due classi: $A={x|x^2<2}$ e $A'={x|x^2>2}$. Queste due classi formano una sezione di Dedekind (rispettano la definizione);
3. Definiamo i reali come l'insieme di tutte le sezioni di Dedekind sui naturali.
Il teorema di completezza ti dice semplicemente che, se tu ora rifai la stessa operazione partendo dai reali, anzi che dai razionali, contrariamente a quanto appena avvenuto non ottieni nessun nuovo insieme. Guardando all'esempio precedente, fatto partendo da $\QQ$, la sezione $(A,A')$ definisce il numero reale $\sqrt{2}$, che non è un razionale. Al contrario, se tu parti da due classi simili, però di numeri reali, quello che definirai sarà sempre un numero reale che avevi già definito prima col procedimento descritto sopra.
Alla luce di questa sommaria ricostruzione, riesci a spiegare più precisamente qual'è il tuo dubbio?
Allora, tu hai definito i numeri reali come sezioni di Dedekind sui razionali. Il procedimento è stato questo (partiamo da $\sqrt{2}$):
1. In $\QQ$ non esiste $\alpha$ tale che $\alpha^2=2$;
2. Possiamo suddividere $\QQ$ in due classi: $A={x|x^2<2}$ e $A'={x|x^2>2}$. Queste due classi formano una sezione di Dedekind (rispettano la definizione);
3. Definiamo i reali come l'insieme di tutte le sezioni di Dedekind sui naturali.
Il teorema di completezza ti dice semplicemente che, se tu ora rifai la stessa operazione partendo dai reali, anzi che dai razionali, contrariamente a quanto appena avvenuto non ottieni nessun nuovo insieme. Guardando all'esempio precedente, fatto partendo da $\QQ$, la sezione $(A,A')$ definisce il numero reale $\sqrt{2}$, che non è un razionale. Al contrario, se tu parti da due classi simili, però di numeri reali, quello che definirai sarà sempre un numero reale che avevi già definito prima col procedimento descritto sopra.
Alla luce di questa sommaria ricostruzione, riesci a spiegare più precisamente qual'è il tuo dubbio?
E' così semplice?? Quindi il teorema di completezza di Dedekind sopra enunciato non fa altro che, passami il termine, costruire una sezione di Dedekind ($\alpha$ chiamato anche elemento di separazione) con i numeri reali e ottiene sempre un numero reale.
E' giusto?
E' giusto?
Beh, sì, per quanto possa ritenersi semplice un teorema così potente e fondamentale.. Comunque sì, il concetto è semplice (la dimostrazione per nulla 
)
Il teorema afferma che comunque tu costruisca una sezione di Dedekind con i numeri reali quello che otterrai sarà ancora un numero reale.
Significa che $\RR$ è completo, cioè non ha "buchi". I razionali avevano buchi (gli irrazionali) e infatti potevi costruire quelle famose coppie di insiemi a separare i quali non c'era nulla.
Guarda caso, finora hai sempre ampliato gli insiemi numerici aggiungendo dei numeri "tra un numero e l'altro" di quelli che avevi già:
quando hai ampliato gli interi, i razionali andavano a finire tra un intero e l'altro, e ora i reali vanno a tappare tutti i buchi che ci sono tra i razionali.
Al contrario, quando dovrai ampliare i reali per poter far sempre l'estrazione di radice, non potrai più ampliarli in questo modo, tappando i buchi della retta perchè non ce ne sono più), ma dovrai aggiungere roba "intorno alla retta", tant'è che i complessi si dispongono su un piano
Vabbè sto divagando
)Il teorema afferma che comunque tu costruisca una sezione di Dedekind con i numeri reali quello che otterrai sarà ancora un numero reale.
Significa che $\RR$ è completo, cioè non ha "buchi". I razionali avevano buchi (gli irrazionali) e infatti potevi costruire quelle famose coppie di insiemi a separare i quali non c'era nulla.
Guarda caso, finora hai sempre ampliato gli insiemi numerici aggiungendo dei numeri "tra un numero e l'altro" di quelli che avevi già:
quando hai ampliato gli interi, i razionali andavano a finire tra un intero e l'altro, e ora i reali vanno a tappare tutti i buchi che ci sono tra i razionali.
Al contrario, quando dovrai ampliare i reali per poter far sempre l'estrazione di radice, non potrai più ampliarli in questo modo, tappando i buchi della retta perchè non ce ne sono più), ma dovrai aggiungere roba "intorno alla retta", tant'è che i complessi si dispongono su un piano
Vabbè sto divagando
Per la dimostrazione del teorema in questione ho idea che se ne riparlerà con algebra 2 immagino.... Comunque grazie mille per la spiegazione 
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