Ideale di $ZZ_5[X]$
Provare che $X^(5)+4X^(4)+4X+1$ appartiene all'ideale di $ZZ_5[X]$ generato da $2X^(3)+2X^(2)+1$
Scusate ma come devo procedere?non saprei proprio...
Io ho diviso $X^(5)+4X^(4)+4X+1$ per $2X^(3)+2X^(2)+1$ trovando che $X^(5)+4X^(4)+4X+1=(2X^(3)+2X^(2)+1)(3X^(2)-X)+X^(2)+4X+2$. Ma ora mi sono proprio bloccata...non capisco bene ciò che devo fare...dove devo arrivare!!
Grazie in anticipo per l'aiuto....davvero!
Scusate ma come devo procedere?non saprei proprio...
Io ho diviso $X^(5)+4X^(4)+4X+1$ per $2X^(3)+2X^(2)+1$ trovando che $X^(5)+4X^(4)+4X+1=(2X^(3)+2X^(2)+1)(3X^(2)-X)+X^(2)+4X+2$. Ma ora mi sono proprio bloccata...non capisco bene ciò che devo fare...dove devo arrivare!!
Grazie in anticipo per l'aiuto....davvero!
Risposte
$(2X^(3)+2X^(2)+1)(3X^(2)-X)+X^(2)+4X+2 = X^5+4X^4+3X^3+4X^2+3X+2$
Temo tu abbia sbagliato i conti: dovresti ottenere resto nullo. Prova a ricontrollare la divisione
Temo tu abbia sbagliato i conti: dovresti ottenere resto nullo. Prova a ricontrollare la divisione
Giusto....che figura... 
$X^(5)+4x^(4)+4X+1=(3X^(2)-X+1)(2X^(3)+2X^(2)+1)$ e quindi posso dire che $2X^(3)+2X^(2)+1$ genera $X^(5)+4x^(4)+4X+1$.
Grazie mille...
!
Posso proporti un altro esercizio?
Determinare la struttura dell'anello $ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$
$ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$ $\cong$ $ZZ_(3)[x]$/$(x^(2)+3)$$\cong$ $ZZ_(3)[sqrt(-3)]$$\cong$$ZZ_(3)[sqrt(0)]$$\cong$$ZZ_(3)$
Va bene risolto in questo modo?ma soprattutto...è corretto...?A me non convince il fatto che questo è l'anello dei polinomi con coefficenti interi, ma ad un certo punto mi esce la radice
$X^(5)+4x^(4)+4X+1=(3X^(2)-X+1)(2X^(3)+2X^(2)+1)$ e quindi posso dire che $2X^(3)+2X^(2)+1$ genera $X^(5)+4x^(4)+4X+1$.
Grazie mille...
!Posso proporti un altro esercizio?
Determinare la struttura dell'anello $ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$
$ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$ $\cong$ $ZZ_(3)[x]$/$(x^(2)+3)$$\cong$ $ZZ_(3)[sqrt(-3)]$$\cong$$ZZ_(3)[sqrt(0)]$$\cong$$ZZ_(3)$
Va bene risolto in questo modo?ma soprattutto...è corretto...?A me non convince il fatto che questo è l'anello dei polinomi con coefficenti interi, ma ad un certo punto mi esce la radice
Non vedo errori; perché ti disturba la radice, sei in \(\mathbb{Z}_3\)? 
Eh si...visto che sono in $ZZ_3$ i numeri devono essere interi. Però ora che mi fai riflettere è giusto così, perchè in $ZZ_3$ i coefficienti devono essere interi, quindi $a+b(sqrt(3))$ dove a e b sono interi...la radice non mi da fastidio...grazie j18eos 
Io non ho capito molto bene.
Se non sono rimbecillito del tutto, $x^2+3 \equiv x^2$ in $\ZZ_{3}[x]$ e ovviamente $x^2=x * x$.
Ora, dovrebbe essere un risultato noto che in $ZZ[X]$ gli ideali massimali sono tutti e soli quelli della forma $(f(x),p)$ dove $f(x)$ è un polinomio irriducibile modulo il primo $p$.
Mettiamo che il tuo ragionamento sia esatto, cioè sia $ZZ[x]$ $/$ $(x^(2)+3,3)$ $\cong ZZ_(3)$. Allora, poichè $ZZ_{3}$ è un campo, avremmo che $I : = (x^(2)+3,3) \subseteq ZZ[x]$ è massimale, cosa non vera per il precedente risultato.
Se posso esprimere la mia opinione, direi che è senz'altro giusta la prima parte: per uno dei millemila teoremi di isomorfismo, certamente si ha $ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$ $\cong$ $ZZ_(3)[x]$/$(x^(2)+3)$.
Ma non capisco come esca quella radice di -3 e i successivi passaggi.
Una volta che hai tirato in ballo $ZZ_{3}[x]$ il problema è finito, è un normalissimo quoziente di un anello di polinomi a coefficienti in un campo.
Spero di non aver capito male.
"melli13":
Determinare la struttura dell'anello $ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$
$ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$ $\cong$ $ZZ_(3)[x]$/$(x^(2)+3)$$\cong$ $ZZ_(3)[sqrt(-3)]$$\cong$$ZZ_(3)[sqrt(0)]$$\cong$$ZZ_(3)$
Va bene risolto in questo modo?ma soprattutto...è corretto...?A me non convince il fatto che questo è l'anello dei polinomi con coefficenti interi, ma ad un certo punto mi esce la radice
Se non sono rimbecillito del tutto, $x^2+3 \equiv x^2$ in $\ZZ_{3}[x]$ e ovviamente $x^2=x * x$.
Ora, dovrebbe essere un risultato noto che in $ZZ[X]$ gli ideali massimali sono tutti e soli quelli della forma $(f(x),p)$ dove $f(x)$ è un polinomio irriducibile modulo il primo $p$.
Mettiamo che il tuo ragionamento sia esatto, cioè sia $ZZ[x]$ $/$ $(x^(2)+3,3)$ $\cong ZZ_(3)$. Allora, poichè $ZZ_{3}$ è un campo, avremmo che $I : = (x^(2)+3,3) \subseteq ZZ[x]$ è massimale, cosa non vera per il precedente risultato.
Se posso esprimere la mia opinione, direi che è senz'altro giusta la prima parte: per uno dei millemila teoremi di isomorfismo, certamente si ha $ZZ[x]$/$(x^(2)+3,3)$ $\cong$ $ZZ_(3)[x]$/$(x^(2)+3)$.
Ma non capisco come esca quella radice di -3 e i successivi passaggi.
Una volta che hai tirato in ballo $ZZ_{3}[x]$ il problema è finito, è un normalissimo quoziente di un anello di polinomi a coefficienti in un campo.
Spero di non aver capito male.
In effetti c'è stato un errore di interpretazione da parte mia; riprendendo è \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+3)=\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\simeq\mathbb{Z}_3[x](\sqrt{0})=\mathbb{Z}_3[x]\).
Ho scritto bene?
Ho scritto bene?
La radice l'ho cacciata fuori perchè $x^2+3=0$ quando $x=sqrt(-3)$ e ho visto molti esercizi che si risolvono così...credevo ci fosse un isomorfismo tra $ZZ[X]$/$(x^(2)+3)$ e $ZZ[sqrt(-3)]$. Però non l'ho mai verificato...
!quindi quando posso applicare questa cosa?
Se ciò che ho scritto è sbagliato, allora $ZZ[X]$/$(x^(2)+3,3) \cong ZZ_(3)[X]$/$(x^(2)+3) \cong ZZ_(3)[X]$/$(x^(2))$ e finisco così?
!quindi quando posso applicare questa cosa?Se ciò che ho scritto è sbagliato, allora $ZZ[X]$/$(x^(2)+3,3) \cong ZZ_(3)[X]$/$(x^(2)+3) \cong ZZ_(3)[X]$/$(x^(2))$ e finisco così?
Non capisco come passare da $ZZ_3[X]$/$(x^2)$ a $ZZ_(3)[X]$
Il tuo errore è che \(\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]=\{a+\sqrt{-3}b\mid a;b\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}/(x^2+3)\), ovvero l'estensione quadratica di \(\mathbb{Z}\) mediante l'aggiunta di una radice quadrata di \(-3\).
Per analogia riesce "a passare" da \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) a \(\mathbb{Z}_3[x]\)?
Mi auguro di non stare a pubblicare solo scemenze.
Per analogia riesce "a passare" da \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) a \(\mathbb{Z}_3[x]\)?
Mi auguro di non stare a pubblicare solo scemenze.
Ho sotto agli occhi queste parole tratte dagli appunti del mio prof:
Sia R l'anello $ZZ[sqrt(-5)]={a+b(sqrt(-5)):a,b in ZZ}$. In altre parole R è l'anello dato da $R=ZZ[X]$/$(X^(2)+5)$
E questo sarebbe lo stesso ragionamento nel mio caso no..?è per quello che ne ho dedotto le stesse conclusioni...
Comunque sei tu quello che mi sta aiutando....io non sono in grado di dirti se sono scemenze o no...!
Sia R l'anello $ZZ[sqrt(-5)]={a+b(sqrt(-5)):a,b in ZZ}$. In altre parole R è l'anello dato da $R=ZZ[X]$/$(X^(2)+5)$
E questo sarebbe lo stesso ragionamento nel mio caso no..?è per quello che ne ho dedotto le stesse conclusioni...
Comunque sei tu quello che mi sta aiutando....io non sono in grado di dirti se sono scemenze o no...
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Ho trovato tutti i miei errori! 
Iniziamo a semplificarci l'esistenza notando che come \(\mathbb{Z}[x]\)-ideale è \((x^2+3,3)=(x^2,3)\), da cui \(\mathbb{Z}[x]/(x^2,3)=\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\). Esplicitando che \(x^2\) non è un polinomio irriducibile su \(\mathbb{Z}_3\) non si ottiene nessuna estensione quadratica (I errore); l'ideale che esso genera non è né massimale e né primo (II errore), infatti, è \((x^2)<(x)\) per cui \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) non è un campo; ed essendo un polinomio riducibile su \(\mathbb{Z}_3,\,(x^2)\) non è un polinomio primo, quindi \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) non è un dominio d'integrità!
Ponendo \(I=(x^2)\) ottieni che \(\mathbb{Z}_3[x]/I=\{a+I;bx+I;(c+dx)+I\mid a;b;c;d\in\mathbb{Z}_3\}\), come facilmente puoi provare mediante la definizione di anello quoziente!
Iniziamo a semplificarci l'esistenza notando che come \(\mathbb{Z}[x]\)-ideale è \((x^2+3,3)=(x^2,3)\), da cui \(\mathbb{Z}[x]/(x^2,3)=\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\). Esplicitando che \(x^2\) non è un polinomio irriducibile su \(\mathbb{Z}_3\) non si ottiene nessuna estensione quadratica (I errore); l'ideale che esso genera non è né massimale e né primo (II errore), infatti, è \((x^2)<(x)\) per cui \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) non è un campo; ed essendo un polinomio riducibile su \(\mathbb{Z}_3,\,(x^2)\) non è un polinomio primo, quindi \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2)\) non è un dominio d'integrità!
Ponendo \(I=(x^2)\) ottieni che \(\mathbb{Z}_3[x]/I=\{a+I;bx+I;(c+dx)+I\mid a;b;c;d\in\mathbb{Z}_3\}\), come facilmente puoi provare mediante la definizione di anello quoziente!
Oh grazie j18eos...ora mi hai chiarito le idee...
Grazie ancora...
Grazie ancora...
Prego melli13, di nulla!
Eppoi ho bisogno di riprendermi cogli esercizi di algebra, come vedi.
Eppoi ho bisogno di riprendermi cogli esercizi di algebra, come vedi.
Sicuramente sei MOLTO meglio di me, nonostante io è da un bel po' che sto facendo algebra..!
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Ma non scrivere baggianate! 
Ahahahah.... 
E' verissimo...
E' verissimo...
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