Ideale di $\mathbb{Q}[x,y]$.

[DarkSepiroth]

Consideriamo in $A =\mathbb{Q}[x,y]$ l'ideale $I$ generato dal polinomio $xy^2-1$.
Determinare se $I$ è primo, massimale e gli omomorfismi di anello $A/I \to \mathbb{Q}$.

[maurer]

Massimale certamente no, visto che [tex](xy^2 -1) \subsetneq (x - 1, y- 1)[/tex].

E' primo... vediamo se ti piace questa prova. [tex]A = \mathbb Q[x][y][/tex]. Poni [tex]B = \mathbb Q[x][/tex] e [tex]K = \mathbb Q(x)[/tex]. Il lemma di Gauss dice che [tex]xy^2-1[/tex] è irriducibile in A se e solo se è irriducibile in [tex]K[y][/tex]. Ma in [tex]K[y][/tex] possiamo scrivere [tex]xy^2 - 1 = x(y^2 - \frac{1}{x})[/tex]. Siccome [tex]x[/tex] è un'unità, ci basta dimostrare che [tex]y^2 - \frac{1}{x}[/tex] è irriducibile. Ma [tex]\frac{1}{x}[/tex] è primo in [tex]\mathbb Q [ \frac{1}{x}][/tex] e quindi, nuovamente il lemma di Gauss, combinato con il criterio di Eisenstein, porta a concludere che [tex]y^2 - \frac{1}{x}[/tex] è irriducibile in [tex]\mathbb Q( \frac{1}{x} ) [y] = K[y][/tex], da cui la tesi.

Calcolare gli omomorfismi [tex]A / I \to \mathbb Q[/tex] è come calcolare i punti razionali della curva [tex]xy^2 - 1 = 0[/tex], ossia gli ideali massimali contenenti [tex]I[/tex] a coordinate razionali. Siccome i punti razionali sono tutti e soli quelli della forma [tex](x, \frac{1}{y^2})[/tex], abbiamo finito.

Ok, un approccio un po' geometrico-algebrico in effetti... Tu in realtà che corso stai seguendo? XD