Ideale destro generato da un elemento

[dark121it]

Salve a tutti,

consideriamo un anello $R$ e un suo elemento $a$. Voglio capire chi è l'ideale destro generato da $a$, che denoto con il simbolo $(a)_r$. Per definizione so che $(a)_r$ è il più piccolo ideale destro generato da $a$.
Ora arriva il dubbio: sul mio libro è scritto che
$(a)_r= {ar+ka|r\inR, k \in Z }$ (con $Z$ insieme degli interi).
Ora, il problema è che ho dei dubbi sul fatto che l'insieme $T={ar+ka|r\inR, k \in Z }$ sia un ideale destro di $R$.
Infatti se considero $q\in R$ e $ar+ka\in T$ dovrei avere che $(ar+ka)q$ sta ancora in $T$.
Ma $(ar+ka)q=a(rq)+kaq$ e quindi il secondo termine non è del tipo $k'a$ con $k' \in Z$ ....

[dark121it]

Mi è venuta un idea!
Siano $q \in R$ e $x \in T$, $x=ar+ka$. Dobbiamo provare che $xq \in T$.
Noto che $xq=a(rq)+kaq$.
Ovviamente $arq$ sta in $T$; quindi per provare la tesi mi basta provare che $kaq$ sta in $T$ (infatti se così fosse potrei sfruttare la chiusura di $T$ rispetto all'addizione, che si prova facilmente).
Proviamo che $kaq \in T$.
Notiamo che $aq \in T$ (infatti $aq=aq+0 \dota $).
Allora, essendo $T$ chiuso rispetto all'addizione, anche $k(aq)$ sta in $T$.

Penso che questo ragionamento funzioni.