Ideale contenuto in un numero finito di ideali in un dominio euclideo

[Angus1956]

Se $A$ è euclideo e $I$ un ideale non nullo allora $I$ è contenuto in un numero finito di ideali.
Allora poichè $A$ è euclideo allora è un PID, e quindi ogni suo ideale è principale. Quindi bisogna vedere che $(d_1)sube(d_2)$, $(d_1)sube(d_3)$, $...$ ha una "fine". Il caso particolare in cui $(d_1)sube(d_2)sube(d_3)sube...$ l'ho fatto, però il caso in cui non si crea questa catena di ideali non so bene dove procedere, qualche idea?

[hydro1]

Hint: se $(a)\subseteq (b)$, allora $b$ divide $a$.

[Angus1956]

"hydro":Hint: se $(a)\subseteq (b)$, allora $b$ divide $a$.

Devo lavorare con il massimo comune divisore di $d_1$ allora mi sa.

[megas_archon]

Beh, è facile: se hai una catena ascendente di elementi in un ED, legati dalla relazione di divisibilità, cioè una catena ascendente di ideali principali uno nell'altro, questa deve fermarsi, perché gli anelli euclidei sono Noetheriani...

[Angus1956]

"megas_archon":Beh, è facile: se hai una catena ascendente di elementi in un ED, legati dalla relazione di divisibilità, cioè una catena ascendente di ideali principali uno nell'altro, questa deve fermarsi, perché gli anelli euclidei sono Noetheriani...

Ma io questa catena l ho fatta ho già detto... a me serve il caso in cui NON c'è la catena

[megas_archon]

Ah, avevo capito una domanda radicalmente diversa. $I$ è principale, diciamo generato da $a$; adesso però puoi fattorizzare $a$ in un prodotto di potenze di elementi che lo dividono, perché sei in un dominio euclideo. Questi elementi generano degli ideali, in numero di esattamente \(m_1+\dots+m_k\), se \(a=x_1^{m_1}\dots x_k^{m_k}\) è la fattorizzazione di $a$, che contengono $I$. Non ce ne sono altri: se \(I=(a)\subseteq (t)\) allora $t$ divide $a$, ma la fattorizzazione che hai scritto sopra è unica e in irriducibili.

[Angus1956]

"megas_archon": Questi elementi generano degli ideali, in numero di esattamente \(m_1+\dots+m_k\), se \(a=x_1^{m_1}\dots x_k^{m_k}\) è la fattorizzazione di $a$, che contengono $I$.

Ma la fattorizzazione di $a$ in irriducibili non può essere infinita giusto?

[megas_archon]

No, non può. A parte che non avrebbe senso (per dare significato a scritture come \(\prod_{i=1}^\infty a_i\) serve una topologia), ma la definizione stessa di valutazione euclidea impedisce di avere produttorie infinite dato che il grado dei resti di divisioni successive deve essere strettamente decrescente.

[Angus1956]

"megas_archon":No, non può. A parte che non avrebbe senso (per dare significato a scritture come \(\prod_{i=1}^\infty a_i\) serve una topologia), ma la definizione stessa di valutazione euclidea impedisce di avere produttorie infinite dato che il grado dei resti di divisioni successive deve essere strettamente decrescente.

ok grazie mille