I quaternioni hanno un ordinamento?
Ciao a tutti!
So che non si può definire un ordinamento naturale nel campo dei numeri complessi.
Questo implica che lo stesso vale nell'algebra dei quaternioni visto che possono essere rappresentati da una coppia di numeri complessi?
So che non si può definire un ordinamento naturale nel campo dei numeri complessi.
Questo implica che lo stesso vale nell'algebra dei quaternioni visto che possono essere rappresentati da una coppia di numeri complessi?
Risposte
Dipende da che intendi per ordinamento naturale...
Sull'insieme dei numeri complessi (come su qualsiasi insieme non vuoto) puoi sempre definire l'ordinamento banale (ogni elemento è uguale a se stesso e non è confrontabile con gli altri).
Sempre su \(\displaystyle\mathbb{C}\) puoi definire anche delle relazioni di ordine non banale, quale l'ordinamento lessicografico e una possibile generalizzazione questo mio esempio click, compatibili con le operazioni usuali; però in tal modo non ottieni un campo ordinato completo (per ogni sottoinsieme non vuoto esistono gli estremi inferiore\i e superiore\i rispetto all'ordinamento usato).
Ti ho chiarito qualche idea?
Sull'insieme dei numeri complessi (come su qualsiasi insieme non vuoto) puoi sempre definire l'ordinamento banale (ogni elemento è uguale a se stesso e non è confrontabile con gli altri).
Sempre su \(\displaystyle\mathbb{C}\) puoi definire anche delle relazioni di ordine non banale, quale l'ordinamento lessicografico e una possibile generalizzazione questo mio esempio click, compatibili con le operazioni usuali; però in tal modo non ottieni un campo ordinato completo (per ogni sottoinsieme non vuoto esistono gli estremi inferiore\i e superiore\i rispetto all'ordinamento usato).
Ti ho chiarito qualche idea?
Grazie per la risposta. Si, intendevo se si può ottenere un campo ordinato completo e a quanto ho capito la risposta è no.
In generale immagino che sia vero che quando si "estende" un insieme (tipo dai reali ai complessi) si può perdere la proprietà di campo ordinato completo, ma non si può acquisire.
Le definizioni di ordine non banale, tipo quella lessicografica, trovano applicazione in problemi concreti? In altre parole, esistono problemi che vengono affrontati utilizzando l'ordinamento lessicografico perché si "comporta meglio", mentre in un secondo problema "ha più senso usare" un altro ordinamento?
In generale immagino che sia vero che quando si "estende" un insieme (tipo dai reali ai complessi) si può perdere la proprietà di campo ordinato completo, ma non si può acquisire.
Le definizioni di ordine non banale, tipo quella lessicografica, trovano applicazione in problemi concreti? In altre parole, esistono problemi che vengono affrontati utilizzando l'ordinamento lessicografico perché si "comporta meglio", mentre in un secondo problema "ha più senso usare" un altro ordinamento?
Ti rispondo solo in parte: a meno di isomorfismi, il campo dei numeri reali \(\displaystyle\mathbb{R}\) con le solite operazioni e l'ordinamento usuale, è l'unico campo ordinato completo!
Nel senso che esso è un campo, la relazione di ordine è compatibile con le operazioni interne, per ogni sottoinsieme non vuoto esistono gli estremi inferiore e superiore.
Nel senso che esso è un campo, la relazione di ordine è compatibile con le operazioni interne, per ogni sottoinsieme non vuoto esistono gli estremi inferiore e superiore.
Il corpo dei quaternioni contiene un sottocorpo (commutativo, perche' isomorfo a \(\mathbb C\)) che non ha un ordinamento compatibile con le operazioni di campo (tutti i quadrati devono essere positivi, ma $-1$ e' un quadrato).
in generale: se un anello unitario di caratteristica zero contiene un elemento $j$ tale che $j^2=-1$ allora non è linearmente ordinabile perché in un anello linearmente ordinabile tutti i quadrati devono essere positivi.
@salemgold Finisco di risponderti: non lo so! Ci sono esempi topologici in cui si utilizza l'ordine lessicografico anziché quello usuale per costruire spazi topologici "strani", se non mi sbaglio Cantor utilizzò l'ordine lessicografico per qualche dimostrazione; ma applicazioni informatiche e dintorni non ne conosco.
Grazie mille, mi avete dato risposte utili!
Prego, di nulla! 
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