$i$ $<$,$>$,$=$ di $-1$;$0$;$1$ ?

[kobeilprofeta]

i (radice quadrata di -1) è maggiore o minore di -1? E di 0? E di 1???
Io ho provato a risolverlo da solo facendo una disequazione del tipo:
rad (-1) < -1 ma poi non ci sono riuscito... Qualcuno sa dirmelo

Grazie mille

[poncelet]

Nel campo dei numeri complessi non esiste relazione d'ordine.

[Sk_Anonymous]

"kobeilprofeta":i (radice quadrata di -1) è maggiore o minore di -1? E di 0? E di 1???
Io ho provato a risolverlo da solo facendo una disequazione del tipo:
rad (-1) < -1 ma poi non ci sono riuscito... Qualcuno sa dirmelo

Grazie mille

Un numero complesso $z\in\mathbb{C}: z=a+ib$ è associato alla coppia ordinata $(a,b)\in\mathbb{R}^2$; in $\mathbb{R}^2$, come ben saprai, non esiste una relazione d'ordine tra i suoi elementi (e questo si riflette in $\mathbb{C}$). Non ha senso, infatti, chiedersi chi è maggiore tra, ad esempio, $(1,2)$ e $(3,0)$, perché essi stanno su un piano, non su una retta!

[gugo82]

@ maxsiviero & giuliofis: Non è vero che in \(\mathbb{C}\) non è definibile una relazione d'ordine.
Ad esempio:
\[
a+\imath\ b \preceq c+\imath\ d \text{ in } \mathbb{C}\qquad \Leftrightarrow \qquad a\leq c \text{ e } b\leq d \text{ in } \mathbb{R}
\]
è una relazione d'ordine in \(\mathbb{C}\) (seppure non è totale).

Quello che non si può fare è definire una relazione d'ordine che sia compatibile con la struttura algebrica di \(\mathbb{C}\), cioè una relazione d'ordine \(\preceq\) che goda delle proprietà:
\[
z_1\preceq z_2 \text{ e } w_1\preceq w_2 \quad \Rightarrow \quad z_1+w_1\preceq z_2+w_2
\]
e:
\[
z_1\preceq z_2 \text{ e } 0\preceq w \quad \Rightarrow \quad z_1\ w\preceq z_2\ w\; .
\]
Infatti, se ciò per assurdo fosse possibile, varrebbe l'usuale regola dei segni e perciò per ogni \(z\in \mathbb{C}\) si avrebbe \(0\preceq z^2\); in particolare si avrebbe \(0\preceq 1\) e conseguentemente \(-1\preceq 0\). Ma questo è assurdo, perché \(-1=\imath^2\) quindi \(0\preceq -1\) e, dunque, \(0=-1\) per le proprietà dell'ordine e \(0=1\).

[Sk_Anonymous]

"gugo82":@ maxsiviero & giuliofis: Non è vero che in \(\mathbb{C}\) non è definibile una relazione d'ordine.
Ad esempio:
\[
a+\imath\ b \preceq c+\imath\ d \text{ in } \mathbb{C}\qquad \Leftrightarrow \qquad a\leq c \text{ e } b\leq d \text{ in } \mathbb{R}
\]
è una relazione d'ordine in \(\mathbb{C}\) (seppure non è totale).

Quello che non si può fare è definire una relazione d'ordine che sia compatibile con la struttura algebrica di \(\mathbb{C}\), cioè una relazione d'ordine \(\preceq\) che goda delle proprietà:
\[
z_1\preceq z_2 \text{ e } w_1\preceq w_2 \quad \Rightarrow \quad z_1+w_1\preceq z_2+w_2
\]
e:
\[
z_1\preceq z_2 \text{ e } 0\preceq w \quad \Rightarrow \quad z_1\ w\preceq z_2\ w\; .
\]
Infatti, se ciò per assurdo fosse possibile, varrebbe l'usuale regola dei segni e perciò per ogni \(z\in \mathbb{C}\) si avrebbe \(0\preceq z^2\); in particolare si avrebbe \(0\preceq 1\) e conseguentemente \(-1\preceq 0\). Ma questo è assurdo, perché \(-1=\imath^2\) quindi \(0\preceq -1\) e, dunque, \(0=-1\) per le proprietà dell'ordine e \(0=1\).

Non sapevo di questa cosa. A me a lezione così avevano detto...

[giuscri]

"gugo82":e, dunque, \(0=-1\) per le proprietà dell'ordine

Perché?

[gugo82]

Proprietà antisimmetrica.
Se \(0\preceq -1\) (segue dalla positività dei quadrati) e contemporaneamente \(-1\preceq 0\), allora \(0=-1\).

D'altra parte, si dimostra con un po' di pazienza che:

Una relazione d'ordine totale \(\preceq\) compatibile con somma e prodotto (nel senso del mio post precedente) esiste se e solo se esiste una sottoclasse \(\mathcal{P}\subseteq \mathbb{C}\) tale che \(\mathcal{P}\) è chiusa rispetto a somma e prodotto e la famiglia \(\{ \mathcal{P}, \{0\}, -\mathcal{P}\}\) è una partizione di \(\mathbb{C}\)

(ove ovviamente \(-\mathcal{P}:=\{-z,\ z\in \mathcal{P}\}\)); nota che l'ultima asserzione circa \(\mathcal{P}\) è il classico principio di tricotomia.

Infatti, se \(\preceq\) è d'ordine totale e compatibile con le operazioni, basta porre \(\mathcal{P}:=\{z\in \mathbb{C}:\ z\neq 0 \text{ e } 0\preceq z\}\) per avere una \(\mathcal{P}\) che sodisfa le condizioni di cui sopra.
E viceversa, data una \(\mathcal{P}\) come sopra, basta definire la relazione:
\[
z\preceq w \qquad \Leftrightarrow \qquad w-z\in \mathcal{P}
\]
per ottenere una relazione d'ordine totale compatibile con le operazioni.
La classe \(\mathcal{P}\), per ovvi motivi, è chiamata insieme dei numeri positivi.

Evidentemente, questo teorema è valido in qualsiasi anello. In altre parole, un anello è totalmente ordinabile compatibilmente con la sua struttura algebrica se e solo se c'è una parte del sostegno dell'anello che "si comporta" da insieme degli elementi positivi (quindi è chiuso rispetto alle operazioni e vale il principio di tricotomia).