I limiti e i colimiti dei rappresentabili

[killing_buddha]

Mi sono tolto una curiosità che avrei dovuto togliermi prima, e siccome è troppo facile per postarla di là la propongo a voi.

Se \(\mathcal C\) è una categoria piccola, trovare i seguenti limiti e colimiti

[*:19d12gd0] \(\varprojlim {\cal C}(x,-)\)[/*:m:19d12gd0]
[*:19d12gd0] \(\varprojlim {\cal C}(-,x)\)[/*:m:19d12gd0]
[*:19d12gd0] \(\varinjlim {\cal C}(x,-)\)[/*:m:19d12gd0]
[*:19d12gd0] \(\varinjlim {\cal C}(-,x)\)[/*:m:19d12gd0][/list:u:19d12gd0]
dove \(\mathcal C(-,x)\colon {\cal C}^\text{op}\to \bf Set\), \(\mathcal C(x,-)\colon {\cal C}\to \bf Set\) sono gli hom-funtori e \(x\in\mathcal C\) è un oggetto fissato.

[Leonardo891]

Vediamo se ho capito: la categoria piccola \(\mathcal C\) è lo schema in questione, gli hom-funtori sono i funtori diagrammi e gli oggetti limiti e colimiti stanno in \(\bf Set\), giusto?

[killing_buddha]

Esattamente