I chiusi rispetto ad una chiusura sono un reticolo completo
Ciao. Definisco una chiusura \( \Gamma \) di un insieme parzialmente ordinato \( \left(S,{\leqq}\right) \) come una funzione unaria su \( S \) 1) che rispetta l'ordine; 2) idempotente; 3) tale che \( x\leqq\operatorname\Gamma x \), per ogni \( x\in S \).
Voglio provare che, se \( S \) è un reticolo completo, l'insieme degli elementi che sono chiusi rispetto a \( {\operatorname\Gamma} \), ossia gli \( x\in S \) tali che \( \operatorname\Gamma x=x \), formano a loro volta un reticolo completo. (Questo prova in modo molto pulito che, ad esempio, i sottospazi di uno spazio vettoriale \( V \) sono un reticolo completo, dove i meet sono l'intersezioni, e i join le somme).
Ciò significa dimostrare che \( C=\left\{x\in S:\operatorname\Gamma x= x\right\} \) è chiuso per meet e join di sottoinsiemi. Dimostrazione. Sia \( A \) un sottoinsieme di \( C \). Esiste in \( S \) il suo meet \( \bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}a \), ed è \( \bigwedge A\leqq a \) per ogni \( a\in A \). La chiusura rispetta l'ordine, dunque tale disuguaglianza ancora regge, sostituendo a \( \bigwedge A \) sua sua chiusura. Per le proprietà dell'estremo inferiore, sarà \( \operatorname{\Gamma}\bigwedge A\leqq\bigwedge A \), e (una parte del)la tesi discende da [strike]1)[/strike] 3).
Ora, posso provare la stessa cosa per i join usando la dualità? Alla fine, quello che ho provato è una cosa valida per ogni "meet semilattice" completo; e quindi dovrebbe esserlo anche per il suo \( \mathrm{op} \). Vero?
Voglio provare che, se \( S \) è un reticolo completo, l'insieme degli elementi che sono chiusi rispetto a \( {\operatorname\Gamma} \), ossia gli \( x\in S \) tali che \( \operatorname\Gamma x=x \), formano a loro volta un reticolo completo. (Questo prova in modo molto pulito che, ad esempio, i sottospazi di uno spazio vettoriale \( V \) sono un reticolo completo, dove i meet sono l'intersezioni, e i join le somme).
Ciò significa dimostrare che \( C=\left\{x\in S:\operatorname\Gamma x= x\right\} \) è chiuso per meet e join di sottoinsiemi. Dimostrazione. Sia \( A \) un sottoinsieme di \( C \). Esiste in \( S \) il suo meet \( \bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}a \), ed è \( \bigwedge A\leqq a \) per ogni \( a\in A \). La chiusura rispetta l'ordine, dunque tale disuguaglianza ancora regge, sostituendo a \( \bigwedge A \) sua sua chiusura. Per le proprietà dell'estremo inferiore, sarà \( \operatorname{\Gamma}\bigwedge A\leqq\bigwedge A \), e (una parte del)la tesi discende da [strike]1)[/strike] 3).
Ora, posso provare la stessa cosa per i join usando la dualità? Alla fine, quello che ho provato è una cosa valida per ogni "meet semilattice" completo; e quindi dovrebbe esserlo anche per il suo \( \mathrm{op} \). Vero?
Risposte
Chiama \(\eta_x : x \le \Gamma x\); allora \(\eta_{\bigvee a}\) testimonia il fatto che \( \bigvee a \le \Gamma(\bigvee a)\). Devi dimostrare l'altra disuguaglianza; del resto in un reticolo si ha \(x \le y\) se e solo se \(x\vee y = y\). Se qui \(x = \Gamma(\bigvee a)\) e \(y = \bigvee a\), allora
\[\textstyle
\bigvee a \le \Gamma\big(\bigvee a\big)\lor \big(\bigvee a\big) = \bigvee \big(\Gamma \big(\bigvee a\big)\lor a\big) \le \bigvee (\bigvee a\lor a) = \bigvee a \qquad\square
\]
PS: \(\Gamma\) è una monade idempotente su \(S\), guardato come una categoria; è ora un fatto generale che
0. La categoria di Kleisli di \(\Gamma\), ossia gli elementi di \(S\) che sono \(\Gamma\)-chiusi, sia riflessiva dentro \(S\);
1. Il funtore dimenticante \(U : \text{Kl}(\Gamma) \to S\) crei i limiti;
2. La categoria delle algebre ammetta tanti limiti quanti ne ammette \(S\) (e quindi \( \text{Kl}(\Gamma)\) ammetta meet arbitrari), e tanti colimiti quanti ne preserva \(U\) (e quindi ammetta join arbitrari).
\[\textstyle
\bigvee a \le \Gamma\big(\bigvee a\big)\lor \big(\bigvee a\big) = \bigvee \big(\Gamma \big(\bigvee a\big)\lor a\big) \le \bigvee (\bigvee a\lor a) = \bigvee a \qquad\square
\]
PS: \(\Gamma\) è una monade idempotente su \(S\), guardato come una categoria; è ora un fatto generale che
0. La categoria di Kleisli di \(\Gamma\), ossia gli elementi di \(S\) che sono \(\Gamma\)-chiusi, sia riflessiva dentro \(S\);
1. Il funtore dimenticante \(U : \text{Kl}(\Gamma) \to S\) crei i limiti;
2. La categoria delle algebre ammetta tanti limiti quanti ne ammette \(S\) (e quindi \( \text{Kl}(\Gamma)\) ammetta meet arbitrari), e tanti colimiti quanti ne preserva \(U\) (e quindi ammetta join arbitrari).
Grazie per la risposta.
Mi piacerebbe capire quanto avesse senso concludere questa cosa qui sopra come ora scrivo, per dualità una volta provata per i meet. Un \( \left(S,{\leqq}\right) \) è un meet-semireticolo se e solo se il suo duale è un join-semireticolo. Una proposizione tipo (in seguito, "\( \Phi \)") "per tutti i meet-semireticoli completi, i chiusi di \( \Gamma \) sono un meet-semireticolo completo" dicono sia logicamente equivalente alla sua duale \( \Phi^{\mathrm{op}} \). Allora, dato che un reticolo è un (insieme parzialmente ordinato che) è contemporaneamente un meet-semireticolo e un join-semireticolo, valgono in esso indipendentemente \( \Phi \) e \( \Phi^{\mathrm{op}} \).
Non mi è proprio chiarissimo quel punto, qui. Posso chiedertene una dimostrazione, o qualche suggerimento in merito?
Per quanto riguarda il post scriptum. Aspetta un attimo, che (inizi e) finisca la triennale. Poi rispondo
"caulacau":Che cosa intendi con \( \bigvee a=\bigvee\left(\Gamma\left(\bigvee a\right)\vee a\right) \)? È il join \( \underline{\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)}=\bigvee_{a\in A}\left(\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)\vee a\right) \)? Perché se è un typo ci sono.
Devi dimostrare l'altra disuguaglianza; del resto in un reticolo si ha \( x \le y \) se e solo se \( x\vee y = y \). Se qui \( x = \Gamma(\bigvee a) \) e \( y = \bigvee a \), allora
\[ \textstyle \bigvee a \le \Gamma\big(\bigvee a\big)\lor \big(\bigvee a\big) = \bigvee \big(\Gamma \big(\bigvee a\big)\lor a\big) \le \bigvee (\bigvee a\lor a) = \bigvee a \qquad\square \]
Mi piacerebbe capire quanto avesse senso concludere questa cosa qui sopra come ora scrivo, per dualità una volta provata per i meet. Un \( \left(S,{\leqq}\right) \) è un meet-semireticolo se e solo se il suo duale è un join-semireticolo. Una proposizione tipo (in seguito, "\( \Phi \)") "per tutti i meet-semireticoli completi, i chiusi di \( \Gamma \) sono un meet-semireticolo completo" dicono sia logicamente equivalente alla sua duale \( \Phi^{\mathrm{op}} \). Allora, dato che un reticolo è un (insieme parzialmente ordinato che) è contemporaneamente un meet-semireticolo e un join-semireticolo, valgono in esso indipendentemente \( \Phi \) e \( \Phi^{\mathrm{op}} \).
Non mi è proprio chiarissimo quel punto, qui. Posso chiedertene una dimostrazione, o qualche suggerimento in merito?
Per quanto riguarda il post scriptum. Aspetta un attimo, che (inizi e) finisca la triennale. Poi rispondo
Che cosa intendi con \( \bigvee a=\bigvee\left(\Gamma\left(\bigvee a\right)\vee a\right) \)? È il join \( \underline{\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)}=\bigvee_{a\in A}\left(\Gamma\left(\bigvee_{a\in A}a\right)\vee a\right) \)? Perché se è un typo ci sono.
Intendo proprio quello, perché lo chiami typo?
Qui c'è una dimostrazione che un join-semireticolo è un reticolo completo.
Aspetta un attimo, che (inizi e) finisca la triennale.Eh no, io ho fretta.
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