Hom tra moduli proiettivi è proiettivo?

[mik6]

\( M, N\) A-moduli proiettivi finitamente generati, \(A \) anello commutativo (con unità).
Mostrare che anche \( Hom _A (M,N) \) è un A-modulo proiettivo finitamente generato.

Fino a finitamente generato ci sono arrivato, con qualche isomorfismo, ecc.. si conclude;
qualcuno ha qualche idea su come provare la proiettività di Hom?

[maurer]

Si dovrebbe poter fare in diversi modi. Ad esempio, puoi ricordarti del fatto che un modulo è proiettivo e finitamente generato se e solo se è localmente libero di rango finito. Quindi, visto che concordi sul fatto che [tex]\text{Hom}_A(M,N)[/tex] sia finitamente generato, ti basterà localizzare ad un ideale primo qualsiasi ed osservare inoltre che [tex]M[/tex] proiettivo + finitamente generato implica finitamente presentato (perché?), da cui [tex]S_{\mathfrak p}^{-1} \text{Hom}_A(M,N) \simeq \text{Hom}_{A_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p}, N_{\mathfrak p}) \simeq A_{\mathfrak p}^I[/tex], dove [tex]S_{\mathfrak p}[/tex] è il sistema moltiplicativo [tex]A \setminus \mathfrak p[/tex].