\( \hom_\mathbb Z(B,C) \) (bi)modulo quando \( B \) è un (bi)modulo
Se \( R \) è un anello (non necessariamente commutativo) e \( B \) è un \( R \)-modulo sinistro e \( C \) è un gruppo abeliano, in che senso \( \hom_\mathbb Z(B,C) \) è un modulo?
Lore: se ho, oltre a \( B \), un \( R \)-modulo destro \( A \) e un'applicazione \( \beta\colon A\times B\to C \) tale che
\[
\begin{aligned}
\beta(a + a^\prime,b) &= \beta(a,b) + \beta(a^\prime,b)\\
\beta(a,b + b^\prime) &= \beta(a,b) + \beta(a,b^\prime)\\
\beta(ar,b) &= \beta(,rb)
\end{aligned}
\] ogni volta che \( a,a^\prime\in A \) e che \( b,b^\prime\in B \) e che \( r\in R \), [ho bisogno di far vedere il fatto che] posso equivalentemente dire che ho o 1) un omomorfismo di moduli (?) \( A\to \hom_\mathbb Z(B,C) \) mappando \( a\mapsto \beta(a,{-}) \); 2) o un omomorfismo di moduli \( B\to \hom_{\mathbb Z}(A,C) \) mappando uguale. Problema: io so che, presi un po' di anelli, se \( M \) è un \( R,S \)-bimodulo e \( N \) è un \( R,T \)-bimodulo, allora \( \hom_{\color{red}R}(M,N) \) è un \( S,T \)-bimodulo in modo naturale, chiedendo che per \( s\in S \) e \( t\in T \) sia
\[
\begin{aligned}
(s\alpha)(x) &= \alpha(xs)\\
(\alpha t)(x) &= \alpha(x)t
\end{aligned}
\] quando \( x \) varia in \( A \). A questo punto in 1) siccome \( B \) è un \( R,\mathbb Z \)-bimodulo e \( C \) è uno \( \mathbb Z,\mathbb Z \)-bimodulo non so cosa dire di \( \hom_{\mathbb Z}(B,C) \) (io lo vedrei come \( \mathbb Z \)-modulo e basta, ma vd. seguito); in 2), invece, siccome \( A \) è un \( \mathbb Z,R \)-bimodulo e \( C \) è sempre lui, posso dire che \( \hom_{\mathbb Z}(A,C) \) è un \( R,\mathbb Z \)-bimodulo (e cioè è un \( R \)-modulo sinistro). C'è un'evidente asimmetria tra 1) e 2), quindi mi sa che sto sbagliando qualcosa.
Lore: se ho, oltre a \( B \), un \( R \)-modulo destro \( A \) e un'applicazione \( \beta\colon A\times B\to C \) tale che
\[
\begin{aligned}
\beta(a + a^\prime,b) &= \beta(a,b) + \beta(a^\prime,b)\\
\beta(a,b + b^\prime) &= \beta(a,b) + \beta(a,b^\prime)\\
\beta(ar,b) &= \beta(,rb)
\end{aligned}
\] ogni volta che \( a,a^\prime\in A \) e che \( b,b^\prime\in B \) e che \( r\in R \), [ho bisogno di far vedere il fatto che] posso equivalentemente dire che ho o 1) un omomorfismo di moduli (?) \( A\to \hom_\mathbb Z(B,C) \) mappando \( a\mapsto \beta(a,{-}) \); 2) o un omomorfismo di moduli \( B\to \hom_{\mathbb Z}(A,C) \) mappando uguale. Problema: io so che, presi un po' di anelli, se \( M \) è un \( R,S \)-bimodulo e \( N \) è un \( R,T \)-bimodulo, allora \( \hom_{\color{red}R}(M,N) \) è un \( S,T \)-bimodulo in modo naturale, chiedendo che per \( s\in S \) e \( t\in T \) sia
\[
\begin{aligned}
(s\alpha)(x) &= \alpha(xs)\\
(\alpha t)(x) &= \alpha(x)t
\end{aligned}
\] quando \( x \) varia in \( A \). A questo punto in 1) siccome \( B \) è un \( R,\mathbb Z \)-bimodulo e \( C \) è uno \( \mathbb Z,\mathbb Z \)-bimodulo non so cosa dire di \( \hom_{\mathbb Z}(B,C) \) (io lo vedrei come \( \mathbb Z \)-modulo e basta, ma vd. seguito); in 2), invece, siccome \( A \) è un \( \mathbb Z,R \)-bimodulo e \( C \) è sempre lui, posso dire che \( \hom_{\mathbb Z}(A,C) \) è un \( R,\mathbb Z \)-bimodulo (e cioè è un \( R \)-modulo sinistro). C'è un'evidente asimmetria tra 1) e 2), quindi mi sa che sto sbagliando qualcosa.
Risposte
Esiste un funtore dimenticante \(U : {}_R\mathsf{Mod}_{\mathbb Z} \to {}_{\mathbb Z}\mathsf{Mod}_{\mathbb Z}\) (o se vuoi, è il cambio di base rispetto al morfismo iniziale \(\eta_R : \mathbb Z \to R\), cosicché \(B\) guardato come \(\mathbb Z\)-modulo è esattamente \(\eta^*B\) con l'azione a sinistra data nel modo ovvio. Questo lo rende uno \(\mathbb Z,\mathbb Z\)-bimodulo e siamo tutti felici.
Questa è tutto sommato una maniera formale di asserire una tautologia, cioè che ogni modulo è anzitutto un gruppo abeliano, e siccome \(\mathbb Z\) è un anello commutativo, moduli destri e sinistri su di esso coincidono.
Quindi, \(\hom_{\mathbb Z}(B,C)\) è uno \(\mathbb Z\)-modulo nel senso che lo è \(\hom_{\mathbb Z}(UB,C)\) e siccome $U$ è un aggiunto (sia destro che) sinistro,
\[ \hom_R({}_RB_{\mathbb Z},{}_{\mathbb Z}(\eta_*C)_R) \cong \hom_{\mathbb Z}({}_{\mathbb Z}UB_{\mathbb Z},{}_{\mathbb Z}C_{\mathbb Z})\] zioken che fatica mettere tutti i pedici.
Questa è tutto sommato una maniera formale di asserire una tautologia, cioè che ogni modulo è anzitutto un gruppo abeliano, e siccome \(\mathbb Z\) è un anello commutativo, moduli destri e sinistri su di esso coincidono.
Quindi, \(\hom_{\mathbb Z}(B,C)\) è uno \(\mathbb Z\)-modulo nel senso che lo è \(\hom_{\mathbb Z}(UB,C)\) e siccome $U$ è un aggiunto (sia destro che) sinistro,
\[ \hom_R({}_RB_{\mathbb Z},{}_{\mathbb Z}(\eta_*C)_R) \cong \hom_{\mathbb Z}({}_{\mathbb Z}UB_{\mathbb Z},{}_{\mathbb Z}C_{\mathbb Z})\] zioken che fatica mettere tutti i pedici.
Sì ok dai questo è chiaro, quello che non capivo era se a questo punto anche \( \hom_\mathbb Z(A,C) \) andasse preso solo come \( \mathbb Z \)-modulo (invece che come \( R \)-modulo sx, visto che lo è). Poi alla fine ho anche verificato e funziona, thx.
Comunque, nel setup precedente se vuoi invece che sia un omomorfismo di moduli (in qualche senso) \( A\to \hom_{\mathbb Z}(UB,C) \) a indurre una \( \beta\colon A\times B\to C \) con le proprietà che ho richiesto io, devi equipaggiare \( \hom_{\mathbb Z}(UB,C) \) di una struttura di \( R \)-modulo destro (come \( A \)) ponendo che \( (\phi\cdot r)(x) := \phi(rx) \) per ogni \( r\in R \) e per ogni \( x\in B \) (e viceversa, se vuoi che a indurre \( \beta \) sia una \( B\to \hom_{\mathbb Z}(UA,C) \) devi mettere una struttura di \( R \)-modulo sinistro su \( \hom_{\mathbb Z}(UA,C) \) ponendo \( (r\cdot \phi)(x) := \phi(yr) \) per ogni \( r\in R \) e per ogni \( y\in A \)).
Questa roba è una costruzione diversa da quella che dicevo io (=se \( M \) è \( R,S \)-bim e \( N \) è \( R,T \)-bim allora \( \hom_R(M,N) \) è \( S,T \)-bim); il trucco credo sita nel fatto che non stiamo dotando tutto "un \( \hom_R(M,N) \)" di una struttura canonica di modulo -la quale che io sappia non c'è-, ma solo "un \( \hom_{\color{red}\mathbb Z}(M,N) \)".
Non so se è giusto quello che ho detto, ma mi pare che funzioni. Cioè, se prendi una \( \Xi\colon A\to \hom_{\mathbb Z}(UB,C) \) che è "solo" un omomorfismo di \( \mathbb Z \)-moduli poi chi ti assicura che per \( \beta(a,b) := [\Xi(a)](b) \) sia \( \beta(ar,b) = \beta(a,rb) \)?
Questa roba è una costruzione diversa da quella che dicevo io (=se \( M \) è \( R,S \)-bim e \( N \) è \( R,T \)-bim allora \( \hom_R(M,N) \) è \( S,T \)-bim); il trucco credo sita nel fatto che non stiamo dotando tutto "un \( \hom_R(M,N) \)" di una struttura canonica di modulo -la quale che io sappia non c'è-, ma solo "un \( \hom_{\color{red}\mathbb Z}(M,N) \)".
Non so se è giusto quello che ho detto, ma mi pare che funzioni. Cioè, se prendi una \( \Xi\colon A\to \hom_{\mathbb Z}(UB,C) \) che è "solo" un omomorfismo di \( \mathbb Z \)-moduli poi chi ti assicura che per \( \beta(a,b) := [\Xi(a)](b) \) sia \( \beta(ar,b) = \beta(a,rb) \)?
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