Ho preso un abbaglio o c'è un errore?

[fabiola5]

visto che non mi avete risposto alla domanda del polinomio, la faccio breve:in $F_p[X]$ un polinomio irriducibile di grado $>=$ può avere zeri?

[fabiola5]

nel post ho omesso il 2 cioè la domanda è:in Fp[X] con p primo, un polinomio irriducibile di grado ≥ 2 può avere zeri?

A titolo informativo:è il terzo post che scrivo a cui non risponde nessuno:
pongo male le domande, sono difficili i problemi o è una congiura verso di me?

[Principe2]

se ha uno zero si può fattorizzare non banalmente e quindi non è irriducibile

[fabiola5]

è quello che penso anch'io, ma nell'articolo mi dice:
scomponiamo il polinomio $(X^r-1)/(X-1) in F_p[X]$ nel prodotto dei suoi fattori irriducibili. Prendiamo uno zero di uno di questi fattori irriducibili...ma come è possibile? Siccome l'algebra non è il mio forte, chiedo a voi se ciò è possibile

[Principe2]

se i fattori irriducibili sono di grado 1 allora hanno zeri... forse si mette nella chiusura algebrica, per garantirsi questo... ora non saprei, bisognerebbe leggere l'articolo.

[fabiola5]

si lo so che bisognerebbe leggere l'articolo, ma ti prego di aiutarmi a capire,perhè ho i tempi molto stretti...in una versione in italiano parla di chiusura algebrica mentre nell'articolo originale no, ma i polinomi hanno comunque grado almeno 2;se con queste informazioni, ritieni sia possibile puoi darmi una spiegazione, magari anche con un esempio?
grazie mille

[Principe2]

è possibile solo nella chiusura algebrica, ad esempio $x^2+x+1\inZZ_2[X]$ non ha zeri ed è irriducibile. Forse nell'articolo originale è sottointeso (o dimenticato .. che spesso è la stessa cosa!). I matematici fanno questo ed altro ...

[fabiola5]

grazie , ma nell'esempio mi dici che il polinomio non ha zeri ed è irriducibile mentre a me serve un esempio di un polinomio irriducibile che ha zeri (questo è possibile nella chiusura algebrica?);

[fabiola5]

forse ho capito:è come dire che $x^2+1$ è irriducibile in $R$ ma ha gli zeri in C?però in questo caso non posso dimenticarmi di specificare gli ambienti perchè se prendo gli zeri in C, allora qui il polinomio non è più irriducibile.giusto?sono vicina alla soluzione o non ho capito niente?

[fabiola5]

qualcuno può darmi una conferma o una smentita, magari anche tramite esempi o controesempi? vi prego, è importante e urgente.grazie

[Martino]

Dato un polinomio $f(x) \in k[X]$ irriducibile in $k[X]$, dove $k$ è un campo, esiste sicuramente un'estensione di k in cui f ammette uno zero: basta prendere $L=(k[X])/((f(x)))$ (che è un campo perché f è irriducibile, e contiene k perché la mappa $k to L$, $a to a+(f(x))$ è iniettiva). In L uno zero di f è $x+(f(x))$ (infatti se calcoli $f(x+(f(x)))+(f(x))$ in $L$ ottieni 0, prova).

Per rispondere alla tua domanda: un polinomio irriducibile $f(x)$ di $F_2[X]$ non ha zeri in $F_2$, ma ha zeri in una opportuna estensione di $F_2$ (per esempio $(F_2[X])/((f(x)))$).

Secondo me negli altri post non ti si risponde perché i quesiti che poni sono abbastanza tecnici, e forse non si ha molta voglia di cercare di capirci qualcosa data la complessità. Scusa la brutalità, ma questo è quello che penso

[zorn1]

Nessun polinomio irriducibile su un campo può avere radici in quello stesso campo altrimenti con Ruffini lo decomponi subito

[fabiola5]

grazie a tutti per avermi aperto la mente;
Per Martino:non preoccuparti di essere brutale, era quello che pensavo anch'io.
grazie ancora