Help urgente: anello di polinomi quoziente un ideale Z[x]/I

[pikkio1]

Ciao a tutti, spero che qualche anima pia possa darmi una mano con un esercizio di algebra, o spiegarmi cosa sto sbagliando nel ragionamento.

Devo caratterizzare l'anello quoziente Z[x]/(x^2+1).

Prima domanda: è un campo? Risponderei di si, perchè l'ideale (x^2+1) è massimale, quindi Z[x]/I è un campo.

A questo punto devo trovare l'inverso di [x+1]... come faccio??? perchè se stessi trattando Q[x]/(x^2+1) l'inverso sarebbe [(1-x)/2], che però non è ovviamente un elemento di Z[x]!!!

Spero che possiate aiutarmi... lunedì si va in scena, ho l'esame!!!

grazie
Simone

[alberto861]

quello li non è un campo ma un anello la dimostrazione la trovi in http://www.mat.uniroma1.it/people/campa ... itolo3.pdf a pagina due.
Precisamente è isomorfo all'anello degli interi di Gauss cioè in questo caso devi ricordarti che x^2=-1. Allora gli elementi sono del tipo a+bx con a,b in Z.
Quindi vuoi che (a+bx)(x+1)=1

ax+a+bx^2+bx=(a+b)x+a-b=1

quindi beve essere a+b=0 e a-b=1 in Z e quindi sarebbe 2a=1 che in Z non è possibile quindi non lo puoi invertire

[alberto861]

cmq se pup' esserti di aiuto questa è la pagina web del mio professore di algebra 1 e due troverai dispense e centinaia di esercizi svolti
http://www.mat.uniroma1.it/people/campanella/

in bocca al lupo!!

[pikkio1]

Grazie mille!!! Per lo stesso motivo che hai esposto tu, ieri notte ero arrivato alla conclusione che evidentemente (x^2+1) non poteva essere massimale... però mi mancava una qualche dispensa in cui trovassi spiegati quali fossero gli ideali massimali di Z[x]! Grazie ancora e crepi questo maledetto lupo ciao!!!