Help Tema d'esame
Qualcuno può darmi una mano con questo esercizio preso da un tema d'esame?
Sia A=Zx$Z_3$ il prodotto cartesiano degli anelli Z e $Z_3$, con le operazioni di somma e prodotto definite per componenti.
a)si provi che l'ideale I generato dall elemento $x=(0,bar5)$ non è massimale
b)si trovi in A, se esiste, un ideale massimale
c)si provi che l'anello quoziente A/I è isomorfo all'anello Z
d)in A/I si stabilisca se la classe $[(5,bar3)]$ è invertibile
Su questo tipo di esercizi con gli ideali ho un po di difficoltà, però devo assolutamente capirli... qualcuno mi saprebbe spiegare almeno come iniziare?
Sia A=Zx$Z_3$ il prodotto cartesiano degli anelli Z e $Z_3$, con le operazioni di somma e prodotto definite per componenti.
a)si provi che l'ideale I generato dall elemento $x=(0,bar5)$ non è massimale
b)si trovi in A, se esiste, un ideale massimale
c)si provi che l'anello quoziente A/I è isomorfo all'anello Z
d)in A/I si stabilisca se la classe $[(5,bar3)]$ è invertibile
Su questo tipo di esercizi con gli ideali ho un po di difficoltà, però devo assolutamente capirli... qualcuno mi saprebbe spiegare almeno come iniziare?
Risposte
Io ho iserito un post simile, ho lo stesso problema...
allora siamo in 2 a sperare in una risposta 
Ti ho inviato un mess privato
Ti ho inviato un mess privato
Forse ho capito...
a) Non è massimale perchè è contenuto in $(0,\bar1)$
b) Un ideale massimale è $(0,\bar1)$
c)Per dimostare questo devo usare il primo teorema dell'isomorfismo (Teorema fondamentale degli anelli)
d)$(5,\bar3)=(5,\bar0)$ quindi l'inverso è $(1/5,\bar0)$
Giusto??
a) Non è massimale perchè è contenuto in $(0,\bar1)$
b) Un ideale massimale è $(0,\bar1)$
c)Per dimostare questo devo usare il primo teorema dell'isomorfismo (Teorema fondamentale degli anelli)
d)$(5,\bar3)=(5,\bar0)$ quindi l'inverso è $(1/5,\bar0)$
Giusto??
No.
a) in effetti, i due ideali sono uguali;
b) di nuovo, no (vedi il punto c!)
c) Questo è giusto, ma ovviamente devi fare i passaggi;
d) no, [tex]\frac{1}{5}[/tex] non ha senso in [tex]\mathbb Z[/tex]!
a) in effetti, i due ideali sono uguali;
b) di nuovo, no (vedi il punto c!)
c) Questo è giusto, ma ovviamente devi fare i passaggi;
d) no, [tex]\frac{1}{5}[/tex] non ha senso in [tex]\mathbb Z[/tex]!
Quindi non esistono ideali massimali in questo anello?
d)ho detto una stupidaggine pensavo fossimo in $RR$
d)ho detto una stupidaggine pensavo fossimo in $RR$
NO. In ogni anello commutativo unitario diverso dall'anello nullo c'è sempre almeno un ideale massimale (assioma della scelta, confronta la mia firma! 
).
Ho semplicemente detto che la risposta che hai dato tu è sbagliata.
).Ho semplicemente detto che la risposta che hai dato tu è sbagliata.
Mi spieghi perchè la mia risp è sbagliata, non capisco perchè...
Il quoziente, [tex]A/I[/tex] è [tex]\mathbb Z[/tex], che è un dominio di integrità, ma non un campo. Pertanto l'ideale è primo, ma non massimale. Se vuoi un massimale, dovrai considerare qualcosa della forma [tex](p,\overline{1})[/tex] con [tex]p[/tex] primo... Altrimenti anche [tex](1,\overline{0})[/tex] va benissimo!
Grazie mille!
Ma per dimostrare che è isomorfo a $ZZ$ devo trovare solo l'espressione dell'isomorfismo che manda $A/I$ in $ZZ$ vero?
E per quanto riguarda l'inverso invece come devo fare... mi verrebbe da dire che non esiste perchè 5 non è invertibile in $ZZ$ ma è giusto?
Ma per dimostrare che è isomorfo a $ZZ$ devo trovare solo l'espressione dell'isomorfismo che manda $A/I$ in $ZZ$ vero?
E per quanto riguarda l'inverso invece come devo fare... mi verrebbe da dire che non esiste perchè 5 non è invertibile in $ZZ$ ma è giusto?
Sì alla prima domanda, o, più semplicemente (come avevi già giustamente osservato prima) usando il primo teorema di isomorfismo. Alla fine, è la stessa cosa...
Per la seconda domanda, è certamente corretto. Quell'elemento non è invertibile (hai un isomorfimso!)
Per la seconda domanda, è certamente corretto. Quell'elemento non è invertibile (hai un isomorfimso!)
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