Help piccolo esercizio su anelli e sottoanelli.

[lory91y]

Salve a tutti sono un nuovo utente in cerca di un piccolo aiuto per un esercizio proprosto in aula, il seguente esercizio afferma:
Si consideri il seguente sottoinsieme dell'anello \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \). delle matrici reali \(\displaystyle 2 x 2 : \)
\(\displaystyle S = \)\begin{cases} \begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix} , | a,b ∈ \mathbb{R} \end{cases}
Provare che \(\displaystyle S \) è un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) . Stabilire se \(\displaystyle S \) è commutativo o no. Stabilire se \(\displaystyle S \) è un campo o no; in caso negativo, specificare quali matrici sono in esso invertibili.
Vi ringrazio a tutti per la visitia di questo esercizio!

[killing_buddha]

La somma di matrici di quel tipo e' una matrice di quel tipo; la moltiplicazione di matrici di quel tipo e' una matrice di quel tipo. La matrice identica e' una matrice di quel tipo. E' commutativo. Non e' un campo, perche' la matrice che ha $a=0,b=1$ non e' invertibile ma non e' nulla. Gli invertibili sono le matrici a determinante non nullo, e il determinante di una matrice di quel tipo e'...

[lory91y]

non riesco a capire bene la sua risposta, poichè per essere un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) deve essere chiuso rispetto al prodotto se non sbaglio, ma qui non so come dimostrarlo,è commutativo poichè \(\displaystyle a x b = b x a , 0 x a = a x 0 \) se non erro, per quanto riguarda i determinanti di matrici non nulle, esiste una risoluzione per garantire che esso non sia un campo per la quale non si dovrebbero usare determinanti?

[killing_buddha]

"lory91y":non riesco a capire bene la sua risposta, poichè per essere un sottoanello di \(\displaystyle \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) deve essere chiuso rispetto al prodotto se non sbaglio, ma qui non so come dimostrarlo,è commutativo poichè \(\displaystyle a x b = b x a , 0 x a = a x 0 \) se non erro, per quanto riguarda i determinanti di matrici non nulle, esiste una risoluzione per garantire che esso non sia un campo per la quale non si dovrebbero usare determinanti?

Domanda socratica: sai fare un prodotto di matrici?
Risposta meno socratica: un anello commutativo e' un campo se tutti i suoi elementi non nulli sono invertibili, questa mi sembra la caratterizzazione piu' comoda. Puoi argomentare dicendo che una matrice invertibile deve avere nucleo banale, se riguardata come un endomorfismo di $\mathbb R^2$; d'altra parte la matrice che ti segnalavo prima ha nucleo di dimensione uno, quindi ciccia.