Help monoidi

[gabry451]

Salve a tutto ho un problema riguardo a un esercizio con i monoidi. Non riesco a capire un passaggio. L' esercizio è questo:

Dimostrare che a*b=ab-a-b+2 è un monoide.

Prima di tutto bisogna dimostrare che è un semigruppo quindi si verifica se gode della proprietà associativa.

Mi blocco a questo primo passaggio:


[size=150](a*b)*c=(ab-a-b+2)*c=abc-ac-bc+2c -ab+a+b-2-c+2= abc-ac-bc+b+c[/size]


Ciò che non va è che non riesco a capire da dove deriva -ab+a+b-2-c+2


Qualcuno mi potrebbe spiegare meglio. Spero sia stato comprensibile a descrivere il problema.

Colgo l' occasione per farvi gli auguri di buona Pasqua.

[deserto1]

"gabry45":
[size=150](a*b)*c=(ab-a-b+2)*c=abc-ac-bc+2c -ab+a+b-2-c+2= abc-ac-bc+b+c[/size]

Ciò che non va è che non riesco a capire da dove deriva -ab+a+b-2-c+2

Ciao
intanto nell'ultimo passaggio hai tralasciato $-ab+a$ senza un valido motivo.
Invece per $-ab+a+b-2-c+2$ lo ritrovi semplicemente svolgendo tutti i conti utilizzando la definizione dell'operazione data.
Se riprovando a farli non ti torna, ti posto i passaggi. Fammi sapere.

[killing_buddha]

Dimostrare che a*b=ab-a-b+2 è un monoide.

Questa frase non ha senso. Un Monoide e' un INSIEME su cui sia posta una OPERAZIONE che lo rende un semigruppo unitario.
Qual e' l'insieme dove vivono a,b,c,...?

[gabry451]

L' insieme è (Z,*)

Per quanto riguarda deserto, non riesco a capire proprio da che calcolo deriva quella parte. Mi faresti un grosso favore se mi posti i passaggi, se non è un problema

[gabry451]

Lo so che è una cosa, banale ma ho bisogno veramente di capirlo. Se qualcuno mi spiega i passaggi

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]gabry45: Attenzione, è vietato fare "up" dopo meno di 24 ore (cf. il regolamento). Che non si ripeta, per favore, grazie.[/mod]

[gabry451]

UP

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

L'operazione è questa: [tex]a \ast b=ab-a-b+2[/tex] (1)

[tex](a*b)*c=(ab-a-b+2)*c[/tex]

Fin qua ci sei no? E' stata solo applicata la definizione. Ora devi calcolare [tex](ab-a-b+2)*c[/tex]. E la regola per farlo è sempre la (1). Ottieni quindi

[tex](ab-a-b+2)*c=(ab-a-b+2)c-(ab-a-b+2)-c+2[/tex]

Se svolgi le parentesi ottieni che questo è uguale a

[tex]abc-ac-bc+2c -ab+a+b-2-c+2= abc-ab-ac-bc+a+b+c[/tex]

Ora l'idea è dimostrare che [tex]a \ast (b \ast c) = abc-ab-ac-bc+a+b+c[/tex] e concludere che [tex](a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)[/tex].

Spero che sia chiaro.

[gabry451]

Grazie mille per la spiegazione

Una volta capito è pure facile XD

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"gabry45":Una volta capito è pure facile XD

Una volta capito è sempre facile

Ciao

[Hop Frog1]

Non bisognerebbe anche mostrare che esiste l elemento neutro RISPETTO L' OPERAZIONE * ?

Ovvero:
[tex]e*b=b[/tex]
[tex]eb-e-b+2=b[/tex]
[tex]e(b-1)-2b+2=0[/tex]
[tex]e(b-1)=2(b-1)[/tex]
[tex]e=2[/tex]
Ovvero 2 è l elemento neutro del nostro monoide.. (dovrei farlo anche per b*e se vogliamo essere precisi)..

correct??

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Certo che è giusto. Quanto a b*e, basta osservare che * è commutativa

[Hop Frog1]

lol, esatto (non sai quanto tempo ho perso negli scritti dimostrando 2 volte cose in cui bastava notare la commutativa..non so perchè ma non mi entra in testa...XD).

Mi è sorto un altro dubbio..
durante la dimostrazione da me fatta sull elemento neutro ho diviso per b-1, questo implica che aggiungo la premessa che b è diverso da 1..
questo è rilevante?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Hop Frog":durante la dimostrazione da me fatta sull elemento neutro ho diviso per b-1, questo implica che aggiungo la premessa che b è diverso da 1..
questo è rilevante?

Certo, tutto è rilevante. Puoi interpretare così quello che hai scritto: se b=1 allora ogni $e$ funziona, se invece $b ne 1$ funziona solo $e=2$. In altre parole lì hai diviso per $b-1$ perché quelle uguaglianze devono valere per ogni $b$, in particolare per ogni $b$ diverso da 1.