Help Esame :soluzione polinomio a coef.complessi
Ciao a Tutti!
sto preparando l'esame di Algebra a ingegneria e mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco a risolvere,il testo è:
"Determinare i valori del parametro complesso a per cui l'equazione [size=150]non[/size] ha soluzioni nel campo complesso"
$(a^8 -1)*z^3$+ $(a^4$+1)$ * z$+ $a^2$-i=$0$
ho provato per tentativi sostituendo ad a vari valori ma non riesco comunque a trovare una soluzione!
Grazie!
sto preparando l'esame di Algebra a ingegneria e mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco a risolvere,il testo è:
"Determinare i valori del parametro complesso a per cui l'equazione [size=150]non[/size] ha soluzioni nel campo complesso"
$(a^8 -1)*z^3$+ $(a^4$+1)$ * z$+ $a^2$-i=$0$
ho provato per tentativi sostituendo ad a vari valori ma non riesco comunque a trovare una soluzione!
Grazie!
Risposte
Per prima cosa la scriverei in una forma piu' trattabile:
\begin{eqnarray*}
(a^4+1)(a^4-1)z^3+(a^4+1)z +a^2-i&=&0\\
(a^4+1)z(z^2(a^4-1) +1)+(a^2-i)&=&0\\
(a^2+i)(a^2-i)z(z^2(a^4-1) +1)+(a^2-i)&=&0\\
(a^2-i)[ (a^2+i)z(z^2(a^4-1) +1)+1 ]&=&0\\
(a^2+i)z(z^2(a^4-1) +1)+1&=&0\\
\end{eqnarray*}
Nell'ultimo passaggio usi il fatto che se $(a^2-i)=0$ hai infinite soluzioni ($0=0$).
Ora, ad esempio, se $(a^2+i)=0 $ ti accorgi che per ogni $z$ vale $1=0$ il che e' assurdo. Quindi per valori $a=\pm \sqrt{-i}$ non hai soluzioni. Devi verificare ora che questi due valori non annullino $a^2-i$ (senno' non potevi semplificare prima).
Spero i conti siano giusti e di essere stato chiaro!
Ciao!
\begin{eqnarray*}
(a^4+1)(a^4-1)z^3+(a^4+1)z +a^2-i&=&0\\
(a^4+1)z(z^2(a^4-1) +1)+(a^2-i)&=&0\\
(a^2+i)(a^2-i)z(z^2(a^4-1) +1)+(a^2-i)&=&0\\
(a^2-i)[ (a^2+i)z(z^2(a^4-1) +1)+1 ]&=&0\\
(a^2+i)z(z^2(a^4-1) +1)+1&=&0\\
\end{eqnarray*}
Nell'ultimo passaggio usi il fatto che se $(a^2-i)=0$ hai infinite soluzioni ($0=0$).
Ora, ad esempio, se $(a^2+i)=0 $ ti accorgi che per ogni $z$ vale $1=0$ il che e' assurdo. Quindi per valori $a=\pm \sqrt{-i}$ non hai soluzioni. Devi verificare ora che questi due valori non annullino $a^2-i$ (senno' non potevi semplificare prima).
Spero i conti siano giusti e di essere stato chiaro!
Ciao!
Grazie infinite!
Attenzione . Ragioniamo nell'ambiente complesso e lì interviene il teorema fondamentale dell'algebra che suggerisce che almeno una soluzione nell'ambiente complesso la si trova , eccetto che non si tratti di una costante !
Si certo ma se scrivi $0z=3$ anche se complessa non ha soluzione....quindi a lui chiedendo di dare dei valori di $a$ per cui non ha soluzione, deve cercare di riportarsi ad un assurdo....ciao!
Proprio quanto ti vien detto dal " teorema fondamentale dell'Algebra " , ossia consideri la sola condizione di grado zero che non sia il " polinomio nullo " ! In conclusione devi solo analizzare i casi per cui tu abbia $ k=0 $ laddove k è un termine noto senza variabile , ovviamente diverso da zero !!! Spero di esserti stato d'aiuto ! 
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