Hasse e reticoli
Mi potete dare un link dove magari sono descritte chiaramente le principali nozioni da conoscere per i reticoli?
Quello che ho capito io e' che sono strutture algebriche costruite su una relazione d'ordine dove c'e' la particolare prooprieta' di ogni sottoinsieme...
Vorrei anche qualche delucidazione sui massimi e minimi e cosa praticamente significa una scrittura del tipo
$a ^^ b$ per massimo o $a vv b$ per minimo ...
ed infine il diagramma di hasse, ho capito che ogni punto e' un elemento e sono collegati se sono in relazione d'ordine, ma se ad esempio $a<=b$ e $b<=c$
per rappresentare che anche $a<=c$ la linea che collega a,b e b,c deve essere in sostanza "dritta"? cioe' se 3 elementi godono della transitivita' i due segmenti che congiungono gli elementi sono allineati? oppure se sono spezzati non cambia niente?
Quello che ho capito io e' che sono strutture algebriche costruite su una relazione d'ordine dove c'e' la particolare prooprieta' di ogni sottoinsieme...
Vorrei anche qualche delucidazione sui massimi e minimi e cosa praticamente significa una scrittura del tipo
$a ^^ b$ per massimo o $a vv b$ per minimo ...
ed infine il diagramma di hasse, ho capito che ogni punto e' un elemento e sono collegati se sono in relazione d'ordine, ma se ad esempio $a<=b$ e $b<=c$
per rappresentare che anche $a<=c$ la linea che collega a,b e b,c deve essere in sostanza "dritta"? cioe' se 3 elementi godono della transitivita' i due segmenti che congiungono gli elementi sono allineati? oppure se sono spezzati non cambia niente?
Risposte
Hai scambiato le notazioni usuali per massimo e minimo.
Comunque, non c'è molto materiale in giro (e neanche molti corsi universitari: tu per che corso devi studiare questi argomenti? sei iscritto a Matematica?).
Potresti provare qui, oppure qui, ma sono in inglese entrambi. Non ne conosco in italiano...
Comunque, non c'è molto materiale in giro (e neanche molti corsi universitari: tu per che corso devi studiare questi argomenti? sei iscritto a Matematica?).
Potresti provare qui, oppure qui, ma sono in inglese entrambi. Non ne conosco in italiano...
matematica discreta in informatica, comunque si...mi sa che quei due simboli non sono per massimo e minimo ma per maggiorante e minorante.
Già... in ogni caso, io ho studiato questi argomenti un po' per conto mio e qualcosa (non moltissimo, in realtà) dovrei saperne. Sentiti libero di chiedere, dunque!
Per quanto riguarda la tua domanda sui diagrammi di Hasse, non importa se la linea è spezzata (altrimenti non riusciremmo a rappresentare molte situazioni...)
Il classico esempio di reticolo è
[tex]\xymatrix{ & d \\ b \ar@{-}[ur] & & c \ar@{-}[ul] \\ & a \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul]}[/tex]
Ricorda però che la linea congiungente due elementi va tracciata se e solo se il secondo è una copertura del primo, ossia, detti [tex]a,b[/tex] gli elementi in questione, allora deve succedere che se [tex]a \le c \le b[/tex] o [tex]a = c[/tex], oppure [tex]b = c[/tex].
Spero di esserti stato d'aiuto...
P.S. Non so quali siano i tuoi dubbi, ma in questo post si era parlato a lungo di reticoli e affini. Se hai voglia, potresti provare a leggerlo un po'. Ci sono alcuni esempi e alcuni esercizi che vanno molto bene per impratichirsi con le definizioni...
Per quanto riguarda la tua domanda sui diagrammi di Hasse, non importa se la linea è spezzata (altrimenti non riusciremmo a rappresentare molte situazioni...)
Il classico esempio di reticolo è
[tex]\xymatrix{ & d \\ b \ar@{-}[ur] & & c \ar@{-}[ul] \\ & a \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul]}[/tex]
Ricorda però che la linea congiungente due elementi va tracciata se e solo se il secondo è una copertura del primo, ossia, detti [tex]a,b[/tex] gli elementi in questione, allora deve succedere che se [tex]a \le c \le b[/tex] o [tex]a = c[/tex], oppure [tex]b = c[/tex].
Spero di esserti stato d'aiuto...
P.S. Non so quali siano i tuoi dubbi, ma in questo post si era parlato a lungo di reticoli e affini. Se hai voglia, potresti provare a leggerlo un po'. Ci sono alcuni esempi e alcuni esercizi che vanno molto bene per impratichirsi con le definizioni...
grazie per il link mi ha aiutato con maggioranti e minoranti.
Ho quest'altro dubbio, allora so che un reticolo si dice distributivo se la relazione gode della distributivita' no?
poi vorrei sapere le proprieta' dei reticoli N5 e M3, la caratterizzazione dei reticoli distributivi, concetto di complemento ed in generale reticoli di boole relativi morfisismi caratterizazioni, sottoreticoli ecc...
Ho quest'altro dubbio, allora so che un reticolo si dice distributivo se la relazione gode della distributivita' no?
poi vorrei sapere le proprieta' dei reticoli N5 e M3, la caratterizzazione dei reticoli distributivi, concetto di complemento ed in generale reticoli di boole relativi morfisismi caratterizazioni, sottoreticoli ecc...
Eh! Non posso nemmeno scrivere un intero corso di teoria dei reticoli, però! Posta dubbi specifici, e ne parliamo.
Comunque sì, un reticolo si dice distributivo se la relazione gode della distributività. Il diagramma di [tex]N_5[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & e \\ d \ar@{-}[ur] & & c \ar@{-}[ul] \\ b \ar@{-} \\ & a \ar@{-}[ul] \ar@{-}[uur] }[/tex]
mentre quello di [tex]M_3[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & e \\ b \ar@{-}[ur] & c \ar@{-} & d \ar@{-}[ul] \\ & a \ar@{-}[ul] \ar@{-} \ar@{-}[ur]}[/tex]
Le proprietà non sono molte... l'unica veramente importante che conosco io è la caratterizzazione dei reticoli modulari e distributivi mediante [tex]M_3[/tex] e [tex]N_5[/tex]. In effetti, sussiste il seguente risultato
Comunque sì, un reticolo si dice distributivo se la relazione gode della distributività. Il diagramma di [tex]N_5[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & e \\ d \ar@{-}[ur] & & c \ar@{-}[ul] \\ b \ar@{-} \\ & a \ar@{-}[ul] \ar@{-}[uur] }[/tex]
mentre quello di [tex]M_3[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & e \\ b \ar@{-}[ur] & c \ar@{-} & d \ar@{-}[ul] \\ & a \ar@{-}[ul] \ar@{-} \ar@{-}[ur]}[/tex]
Le proprietà non sono molte... l'unica veramente importante che conosco io è la caratterizzazione dei reticoli modulari e distributivi mediante [tex]M_3[/tex] e [tex]N_5[/tex]. In effetti, sussiste il seguente risultato
Teorema. Un reticolo [tex](S,\le)[/tex] è modulare se e solo se non contiene sottoreticoli isomorfi a [tex]N_5[/tex]. Un reticolo [tex](S,\le)[/tex] è distributivo se e solo se non contiene sottoreticoli isomorfi a [tex]M_3[/tex] o a [tex]N_5[/tex].
[/list:u:2nf9d7ai]
La dimostrazione... è piuttosto lunga e noiosetta. Sono abbastanza sicuro che nei due pdf che ti ho consigliato all'inizio sia riportata.
Per quanto riguarda gli altri argomenti sono veramente troppo vaghi! Fai domande precise e tenterò di risponderti...
ok allora per il complemento, so che il complemento di un elemento e quello con il cui maggiorante dia o il massimo o il minimo no? sarebbe come essere "coprimi" cioe' son gli unici elementi in relazione d'ordine con loro sono il massimo ed il minimo...
per i reticoli di boole, so che sono quei reticoli distributivi complementati limitati, e fino alla definizione ci sono, ma le proprieta' e le caratterizzazioni...sono un po' povero al riguardo :p cosa hanno di speciale i morfismi tra reticoli booleani? i morfismi dei reticoli in generale rispecchiano piu' o meno la definizione per i morfismi tra monoidi e gruppi, la funzione dell'operazione di due elementi e' uguale all'operazione tra le due funzioni dei due elementi... soltanto che in questo caso le operazioni sono relazioni d'ordine...mentre per i reticoli booleani?' essendo distributivi complementati e limitati in che modo influenzano i morfismi?
per i reticoli di boole, so che sono quei reticoli distributivi complementati limitati, e fino alla definizione ci sono, ma le proprieta' e le caratterizzazioni...sono un po' povero al riguardo :p cosa hanno di speciale i morfismi tra reticoli booleani? i morfismi dei reticoli in generale rispecchiano piu' o meno la definizione per i morfismi tra monoidi e gruppi, la funzione dell'operazione di due elementi e' uguale all'operazione tra le due funzioni dei due elementi... soltanto che in questo caso le operazioni sono relazioni d'ordine...mentre per i reticoli booleani?' essendo distributivi complementati e limitati in che modo influenzano i morfismi?
"natostanco":
ok allora per il complemento, so che il complemento di un elemento e quello con il cui maggiorante dia o il massimo o il minimo no? sarebbe come essere "coprimi" cioe' son gli unici elementi in relazione d'ordine con loro sono il massimo ed il minimo...
Qui c'è un bel po' di confusione.
Definizione. Sia [tex](S,\le)[/tex] un reticolo dotato di zero ([tex]0[/tex]) e di uno ([tex]1[/tex]). Diciamo che [tex]b \in S[/tex] è un complemento di [tex]a \in S[/tex] se [tex]a \wedge b = 0[/tex] e [tex]a \lor b = 1[/tex].
Ti propongo di dimostrare questa proposizione, che sicuramente è un buon esercizio su questi concetti (e sul precedente teorema di classificazione).
Proposizione. Sia [tex](S,\le)[/tex] un reticolo. Allora ogni elemento ha un unico complemento se e solo se il reticolo è distributivo.
Definizione. Diciamo che un reticolo [tex](S,\le)[/tex] è booleano, oppure che forma un'algebra di Boole se è dotato di zero e di uno, se è distributivo e se ogni elemento ha un complemento.
Per quanto riguarda i morfismi di reticoli booleani, non mi viene in mente nulla di particolare da aggiungere a quello che già si sa dei reticoli standard. Ovviamente nascosta qui in mezzo si trova la dualità di Stone, della quale però non sono un esperto e quindi non saprei proprio cosa dirti di non banale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo