\( H \hookrightarrow G_1 \times G_2 \implies |H|\leq |G_1| \)?

[Gi81]

Siano $H$, $G_1$ e $G_2$ gruppi finiti, con $H$ e $G_1$ ciclici e $|G_1|= |G_2|$
Se $H$ si immerge in $G_1 times G_2$ [nota]cioè esiste un omomorfismo iniettivo da $H$ in $G_1 times G_2$[/nota] , è vero che $|H|<=|G_1|$?

[vict85]

Si dovrebbe essere vero per via della classificazione dei gruppi abeliani.

[Studente Anonimo]

Se scrivi $H = \langle (g_1,g_2) \rangle$ allora è chiaro che detto $n = |G_1| = |G_2|$ si ha $(g_1,g_2)^n=1$. Questo implica $|H| \leq |G_1|$. Non serve che $G_1$ sia ciclico.

[Gi81]

Grazie mille ad entrambi. Come al solito mi sono perso in un bicchiere d'acqua