G/Z(G) ciclico

[sradesca]

devo dimostrare che se un gruppo $G$ è tale che $G/(Z(G))$ sia ciclico, allora $G$ è abeliano. Ora significa che $gZ(G)=a^n$ $AA g in G$ ma come fa un insieme ad essere $=$ $a^n$??

[Gi81]

Trovo inconcepibile che un utente iscritto al forum da quasi 5 anni e con all'attivo più di 250 messaggi non sappia/voglia scrivere correttamente.

[Studente Anonimo]

[xdom="Martino"]Sottoscrivo quanto detto da Gi8 (e aggiungo che non è la prima volta che succede, cf. questo, di cinque giorni fa), e invito caldamente simo90 a sforzarsi di scrivere più chiaramente e correttamente, oltre che a proporre le sue riflessioni elaboratamente. Grazie.[/xdom]

[sradesca]

più chiaramente di così è impossibile, la scrittura è una svista

[Gi81]

"simo90":... Ora significa che $gZ(G)=a^n$ $AA g in G$...

Ma chi lo dice questo? Il libro?

Abbiamo che \( G/Z\) è ciclico(*). Ciò significa che esiste un suo elemento che lo genera.
Come sono fatti gli elementi di \( G/Z\)? Sono del tipo \(y Z\), per opportuni \(y \in G\).

Quindi esiste \(a \in G\) tale che \( G/Z = < a Z>\). Questo significa che
$AA g in G$ si ha che $EE n in NN$ tale che $gZ= (aZ)^n = a^n Z$ (l'ultima uguaglianza ti è chiara, spero)
___________________________________
(*) con $Z$ intendo ovviamente $Z(G)$

[sradesca]

è un esercizio

"Gi8":
Sono del tipo \(y Z\), per opportuni \(y \in G\).

ma non è $AA y in G$ e non per opportuni?

[Gi81]

Sì, certo. $AA y in G$ hai che \( yZ \in G/Z\).
Con quell' <> intendevo che può capitare che da $y_1,y_2 in G$ diversi si abbia $y_1 Z = y_2 Z$,
quindi non sono necessari tutti gli $y in G$ per scrivere tutti gli elementi di \(G/Z\)

[sradesca]

ho capito è un'altra domanda: come si fa a capire quali sono quelli opportuni? per esempio trova i laterali di $V_4$ in $S_4$, sono 6 ma quali?